Exercício 4 (Fórmula de Abel). Considere a equação homogênea , com e funções contínuas em . Sejam e duas soluções desta equação no intervalo . Seja o wronskiano de e em . Mostre que:
a)
b) satisfaz a equação diferencial no intervalo .
c)
d) , para todo ou , para todo .
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
em um intervalo , onde e são contínuas. Temos duas soluções e e definimos o Wronskiano
Queremos mostrar:
a) fórmula de W',
b) que W satisfaz y'+p(t)y=0,
c) a forma explícita W=c,e^-integral p(t),dt,
d) que W ou é identicamente zero ou nunca se anula em I.
Passo 2
Aplicando a regra do produto ao determinante, calculamos
A equação W' + p(t),W=0 é de primeira ordem linear homogênea. O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr)
Multiplicando, temos l(mu,Wr)'=0, logo mu(t),W(t)=constante. Chamando essa constante de c, vem
W(t)=c,exp!l(-integral p(t),dtr),
que é o item (c).
Passo 5
Da expressão W(t)=c,e^-integral p(t),dt segue que se c=0 então W(t)equiv0 em I; se cneq0 então W(t) nunca zera (pois a exponencial nunca é zero). Isso estabelece o item (d).
Resposta
a) W'[y1,y2](t)=y1(t),y2''(t)-y2(t),y1''(t)
b) W(t) satisfaz W'+p(t),W=0.
c) W(t)=c,e^-integral p(t),dt
d) Ou W(t)equiv0 em I, ou W(t)neq0 para todo tin I.