Exercício 4 (Fórmula de Abel). Considere a equação homogênea y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, com p(t) e q(t) funções contínuas em I. Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções desta equação no intervalo I. Seja W[y1, y2](t) o wronskiano de y1(t) e y2(t) em I. Mostre que:
a) W[y1, y2]^prime(t)=y1(t) y2^prime prime(t)-y2(t) y1^prime prime(t)
b) W[y1, y2](t) satisfaz a equação diferencial y^prime+p(t) y=0 no intervalo I.
c) W[y1, y2](t)=c e^-integral p(t) d t
d) W[y1, y2](t)=0, para todo t in I ou W[y1, y2](t) neq 0, para todo t in I.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
em um intervalo I, onde p e q são contínuas. Temos duas soluções y1(t) e y2(t) e definimos o Wronskiano
W[y1,y2](t) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = y1(t),y2'(t) - y2(t),y1'(t)
Queremos mostrar:
a) fórmula de W',
b) que W satisfaz y'+p(t)y=0,
c) a forma explícita W=c,e^-integral p(t),dt,
d) que W ou é identicamente zero ou nunca se anula em I.

Passo 2

Aplicando a regra do produto ao determinante, calculamos
W'[y1,y2](t) =ddtl(y1y2' - y2y1'r) =y1',y2'+y1,y2'' ;-;y2',y1'-y2,y1''
Os termos y1',y2' cancelam, restando
W'[y1,y2](t)=y1(t),y2''(t)-y2(t),y1''(t),
que é exatamente o item (a).

Passo 3

Usamos agora que y1 e y2 satisfazem a equação original, isto é
yi'' = -p(t),yi' - q(t),yi, i=1,2
Substituindo em W':
W' = y1l(-p,y2'-q,y2r) - y2l(-p,y1'-q,y1r) = -p,(y1y2'-y2y1') = -p(t),W
Reorganizando, obtemos
W' + p(t),W = 0,
o que prova o item (b).

Passo 4

A equação W' + p(t),W=0 é de primeira ordem linear homogênea. O fator integrante é
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr)
Multiplicando, temos l(mu,Wr)'=0, logo mu(t),W(t)=constante. Chamando essa constante de c, vem
W(t)=c,exp!l(-integral p(t),dtr),
que é o item (c).

Passo 5

Da expressão W(t)=c,e^-integral p(t),dt segue que se c=0 então W(t)equiv0 em I; se cneq0 então W(t) nunca zera (pois a exponencial nunca é zero). Isso estabelece o item (d).

Resposta

a) W'[y1,y2](t)=y1(t),y2''(t)-y2(t),y1''(t)
b) W(t) satisfaz W'+p(t),W=0.
c) W(t)=c,e^-integral p(t),dt
d) Ou W(t)equiv0 em I, ou W(t)neq0 para todo tin I.

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