Encontre a Série de Fourier de cada função dada a seguir:
(08) f(x)=-1 se -2 \leq x<0, f(x)=1 se 0 \leq x<2, f(x+4)=f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 4\) definida por \[f(x)= \begin{cases} -1,&-2\le x<0,\\\ \phantom{-}1,&0\le x<2, \end{cases} \quad f(x+4)=f(x).
Queremos a Série de Fourier dessa função. Vamos usar a definição de coeficientes no intervalo simétrico ([-2,2]].

Passo 2

Note que f(-x)=-f(x) para todo x, ou seja, f é ímpar. Logo
a_0=0, \qquad a_n=0 \quad\forall n\ge1,
e sobra apenas a soma de termos senoidais com coeficientes b_n.

Passo 3

Para uma função ímpar de período T=4 definimos L=T/2=2 e
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx = \int_{0}^{2}f(x)\,\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Em [0,2] temos f(x)=1, então
b_n = \int_{0}^{2}\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx = \Bigl[-\tfrac{2}{n\pi}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{2} = -\tfrac{2}{n\pi}\bigl[\cos(n\pi)-\cos0\bigr] = \tfrac{2}{n\pi}\bigl[1-(-1)^n\bigr].
Dessa forma b_n=0 se n é par, e para n=2k+1 (ímpar)
b_{2k+1}=\frac{4}{(2k+1)\pi}.

Passo 5

Reunindo tudo, a Série de Fourier fica
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{(2k+1)\pi}\, \sin\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).

Resposta

f(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{(2k+1)\pi}\, \sin\!\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).

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