Encontre a Série de Fourier de cada função dada a seguir:
(06) f(x)=x se -\pi \leq x<0, f(x)=0 se 0 \leq x<\pi, f(x+2 \pi)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f de período 2\pi definida por
f(x)= \begin{cases} x, & -\pi \le x<0,\\\\ 0, & 0\le x<\pi, \end{cases}
e estendida periodicamente. Para resolver, precisamos usar as fórmulas
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculemos a_0. Como f(x)=x em [-\pi,0) e f(x)=0 em [0,\pi),
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{0}x\,dx + \int_{0}^{\pi}0\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =0 - \frac{\pi^2}{2} =-\frac{\pi^2}{2}.
Logo,
a_0 = \frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi^2}{2}\Bigr) =-\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Agora a_n. Temos
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx.
Integramos por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx. Obtém-se
\int x\cos(nx)\,dx =\frac{x\sin(nx)}{n}+\frac{\cos(nx)}{n^2},
de onde
\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}+\frac{\cos(nx)}{n^2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{1 - (-1)^n}{n^2}.
Portanto
a_n = \frac{1}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2} =\begin{cases} \frac{2}{\pi n^2}, & n\text{ ímpar},\\\\ 0, & n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 4

Para b_n,
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx.
Integramos por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Dá-se
\int x\sin(nx)\,dx =-\frac{x\cos(nx)}{n}+\frac{\sin(nx)}{n^2},
e, avaliando de -\pi a 0, resulta
\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Assim
b_n = \frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr) =-\frac{(-1)^n}{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de f é
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr] =-\frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1}}^{\infty} \Bigl( \frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \Bigr).

Resposta

f(x)=-\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl( \frac{1-(-1)^n}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \Bigr).

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