Verifique se cada função a seguir é ou não periódica. Caso afirmativo, determine o seu período fundamental.
h(x)=\cos 2 \pi x

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função h(x)=\cos(2\pi x) é periódica e, em caso afirmativo, determinar seu período fundamental. Vamos usar a definição de função periódica e a propriedade de periodicidade do cosseno.

Passo 2

Uma função f é periódica se existe T>0 tal que
f(x+T)=f(x)
para todo x. O menor valor positivo de T que satisfaz essa condição é o período fundamental.

Passo 3

Para h(x)=\cos(2\pi x) temos
\cos\bigl(2\pi(x+T)\bigr)=\cos\bigl(2\pi x+2\pi T\bigr).
Como \cos(u)=\cos(u+2\pi k) para todo inteiro k, basta exigir
2\pi T = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad T = k.
O menor T>0 ocorre quando k=1, ou seja, T=1.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é 1.

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