Encontre a série de Fourier de cada função dada. Suponha que as funções se repitam periodicamente fora do intervalo original. Faça um esboço do gráfico da função para a qual cada série converge, sobre, pelo menos, três períodos. f(x)=\operatorname{sen}^{2} x,-\pi \leq x \leq \pi
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=\operatorname{sen}^2 x no intervalo -\pi\le x\le\pi, estendida periodicamente de período 2\pi. Para isso vamos usar a forma
que coincide com a identidade trigonométrica usada.
Passo 6
A série de Fourier converge para a extensão periódica de f. Como \operatorname{sen}^{2}x varia entre 0 e 1, com zeros em x=k\pi e máximos 1 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, o gráfico é repetido a cada 2\pi. Em três períodos de 2\pi teríamos algo assim (em cada período de comprimento 2\pi aparecem duas cristas de \operatorname{sen}^2):
\underbrace{ \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }-\pi\text{ a }\pi} \;\to\; \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }\pi\text{ a }3\pi} \;\to\; \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }3\pi\text{ a }5\pi} }_{\text{três períodos}}