Encontre a série de Fourier de cada função dada. Suponha que as funções se repitam periodicamente fora do intervalo original. Faça um esboço do gráfico da função para a qual cada série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
f(x)=\operatorname{sen}^{2} x,-\pi \leq x \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=\operatorname{sen}^2 x no intervalo -\pi\le x\le\pi, estendida periodicamente de período 2\pi. Para isso vamos usar a forma
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname{sen}(nx)\bigr),
aproveitando que \operatorname{sen}^2 x é função par (logo todos os b_{n}=0) e as fórmulas de coeficientes de Fourier.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1-\cos(2x)}{2},
que já mostra que só teremos termos constantes e \cos(2x) na expansão.

Passo 3

Calculamos primeiro
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}^{2}x\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{x}{2}-\tfrac{\operatorname{sen}(2x)}{4}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\bigl(\pi\bigr) =1.
Logo o termo constante vale \tfrac{a_{0}}{2}=\tfrac12.

Passo 4

Para n\ge1 temos
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}^{2}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\cos(nx)\,dx.
O primeiro termo \tfrac12\int\cos(nx)\,dx anula-se para todo n\ge1. O segundo é
-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\,dx
que só é não-zero quando n=2, pois \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(mx)\,dx=0 se k\neq m e =\pi se k=m\neq0. Portanto
a_{2} =-\frac{1}{2\pi}\,\pi=-\frac12, \quad a_{n}=0\quad(\text{para }n\neq2).

Passo 5

Como f é par, todos os b_{n}=0. Assim a série de Fourier fica exatamente
\boxed{\operatorname{sen}^{2}x =\frac12 - \frac12\cos(2x),}
que coincide com a identidade trigonométrica usada.

Passo 6

A série de Fourier converge para a extensão periódica de f. Como \operatorname{sen}^{2}x varia entre 0 e 1, com zeros em x=k\pi e máximos 1 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, o gráfico é repetido a cada 2\pi. Em três períodos de 2\pi teríamos algo assim (em cada período de comprimento 2\pi aparecem duas cristas de \operatorname{sen}^2):
\underbrace{ \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }-\pi\text{ a }\pi} \;\to\; \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }\pi\text{ a }3\pi} \;\to\; \overbrace{\operatorname{sen}^2 x}^{\text{de }3\pi\text{ a }5\pi} }_{\text{três períodos}}êí

Resposta

\operatorname{sen}^{2}x =\frac12 - \frac12\cos(2x),
com gráfico periódico de período 2\pi variando entre 0 e 1, zeros em x=k\pi e máximos em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

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