Utilize a série de Fourier de f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\ x^{2}, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right. para mostrar que \frac{\pi^{2}}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos expandir por série de Fourier, no intervalo [- \pi,\pi], a função
f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\ x^{2}, & 0 \le x < \pi. \end{cases}
O objetivo é usar essa expansão para provar que
\frac{\pi^{2}}{6} \;=\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
O conteúdo necessário envolve o cálculo dos coeficientes de Fourier e a avaliação da série num ponto conveniente.

Passo 2

Calculamos o coeficiente a_{0} pela fórmula
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\,\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{3}.
Assim, na série o termo constante é \tfrac{a_{0}}{2}=\tfrac{\pi^{2}}{6}.

Passo 3

Para os coeficientes a_{n} (coeficientes de cosseno) temos
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,\mathrm{d}x.
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,\mathrm{d}x =2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}},
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a_{n} =\frac{1}{\pi}\;2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} =2\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 4

A série de Fourier de f é
f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr] =\frac{\pi^{2}}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}2\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx).
Não precisamos do b_{n} porque vamos avaliar em um ponto onde \sin(nx)=0.

Passo 5

Escolhemos x=\pi. Como f(\pi^{-})=\pi^{2} e f(\pi^{+})=f(-\pi^{+})=0, a série converge para o valor médio
\frac{f(\pi^{-})+f(\pi^{+})}{2} =\frac{\pi^{2}+0}{2} =\frac{\pi^{2}}{2}.
Por outro lado, na série temos em x=\pi:
\frac{\pi^{2}}{2} =\frac{\pi^{2}}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}2\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(n\pi).
Mas \cos(n\pi)=(-1)^{n}, então
\frac{\pi^{2}}{2} =\frac{\pi^{2}}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}2\,\frac{1}{n^{2}} =\frac{\pi^{2}}{6} +2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Isolando a soma,
\frac{\pi^{2}}{2}-\frac{\pi^{2}}{6} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi^{2}}{3} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\frac{\pi^{2}}{6}.

Resposta

\frac{\pi^{2}}{6} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

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