Utilize a série de Fourier de
para mostrar que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos expandir por série de Fourier, no intervalo
, a função
O objetivo é usar essa expansão para provar que
O conteúdo necessário envolve o cálculo dos coeficientes de Fourier e a avaliação da série num ponto conveniente.
Passo 2
Calculamos o coeficiente
pela fórmula
Assim, na série o termo constante é
Passo 3
Para os coeficientes
(coeficientes de cosseno) temos
Fazendo integração por partes duas vezes, obtém-se
logo
Passo 4
A série de Fourier de
é
Não precisamos do
porque vamos avaliar em um ponto onde
.
Passo 5
Escolhemos
. Como
e
, a série converge para o valor médio
Por outro lado, na série temos em
:
Mas
, então
Isolando a soma,