Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos. f(x)=l-x, 0<x<l
Passo 1
O enunciado pede a expansão de f(x)=l - x definida em 0<x<l em séries de Fourier de senos (extensão ímpar) e de cossenos (extensão par), ambas de período 2l. Em seguida, devemos esboçar o gráfico da extensão periódica numa janela de pelo menos três períodos. Para isso vamos usar as fórmulas padrões:
– Série de senos numa base \sin\bigl(n\pi x/l\bigr) com
a) Série de senos (extensão ímpar):
Em [0,l] o gráfico é a reta decrescente de f(0)=l até f(l)=0. Para -l<x<0 reflete‐se de forma ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)), gerando um “dente de serra” centrado na origem. Repetir esse padrão a cada 2l.
b) Série de cossenos (extensão par):
Em [0,l] o mesmo segmento decrescente. Para -l<x<0 reflete‐se de forma par (isto é, f(-x)=f(x)), criando um “dente de serra” simétrico. Também se repete a cada 2l.
Em ambos os casos, três períodos podem ser plotados por exemplo no intervalo -3l\le x\le 3l, alternando segmentos lineares de declive -1 que vão de l a 0 e seus respectivos reflexos.