Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
f(x)=l-x, 0<x<l

Passo 1

O enunciado pede a expansão de f(x)=l - x definida em 0<x<l em séries de Fourier de senos (extensão ímpar) e de cossenos (extensão par), ambas de período 2l. Em seguida, devemos esboçar o gráfico da extensão periódica numa janela de pelo menos três períodos. Para isso vamos usar as fórmulas padrões:
– Série de senos numa base \sin\bigl(n\pi x/l\bigr) com
B_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr)\,dx.
– Série de cossenos numa base \cos\bigl(n\pi x/l\bigr) com
A_0 = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\,dx, \quad A_n = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr)\,dx.

Passo 2

Cálculo do coeficiente B_n para a série de senos:
B_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l}(l - x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr)\,dx.
Partindo para calcular a integral, uma combinação de integrais já conhecidas mostra que
\int_{0}^{l}(l - x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr)\,dx = \frac{l^2}{n\pi}.
Logo
B_n = \frac{2}{l}\,\frac{l^2}{n\pi} = \frac{2l}{n\pi}.

Passo 3

Assim, a série de senos de Fourier é
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}B_n \,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2l}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes A_n para a série de cossenos:
Primeiro
A_0 = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}(l-x)\,dx = \frac{2}{l}\,\frac{l^2}{2} = l.
Para n\ge1:
A_n = \frac{2}{l}\int_{0}^{l}(l-x)\,\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr)\,dx.
Fazendo as integrais por partes, obtém‐se
A_n = \frac{2l}{n^2\pi^2}\,\bigl[1-(-1)^n\bigr] \;=\; \begin{cases} \dfrac{4l}{(2k-1)^2\pi^2},&n=2k-1\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 5

Logo, a série de cossenos de Fourier fica
f(x)\sim \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr) = \frac{l}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4l}{(2k-1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{l}\Bigr).

Passo 6

Esboço do gráfico periódico (período 2l):
a) Série de senos (extensão ímpar):
Em [0,l] o gráfico é a reta decrescente de f(0)=l até f(l)=0. Para -l<x<0 reflete‐se de forma ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)), gerando um “dente de serra” centrado na origem. Repetir esse padrão a cada 2l.
b) Série de cossenos (extensão par):
Em [0,l] o mesmo segmento decrescente. Para -l<x<0 reflete‐se de forma par (isto é, f(-x)=f(x)), criando um “dente de serra” simétrico. Também se repete a cada 2l.
Em ambos os casos, três períodos podem ser plotados por exemplo no intervalo -3l\le x\le 3l, alternando segmentos lineares de declive -1 que vão de l a 0 e seus respectivos reflexos.

Resposta

Série de senos:
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2l}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{l}\bigr).
Série de cossenos:
f(x) = \frac{l}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4l}{(2k-1)^2\pi^2} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2k-1)\pi x}{l}\Bigr).
Gráficos: extensões periódicas de “dente de serra” ímpar (senos) e par (cossenos) de período 2l, traçando ao menos três períodos em -3l\le x\le3l.

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