Obtenha a série de senos e a série de co-senos de Fourier para cada função dada. Esboce o gráfico da função para a qual a série converge, sobre, pelo menos, três períodos.
f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<1 / 2 \\\\ 1, & 1 / 2 \leq x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<\tfrac12,\\\\ 1, & \tfrac12\le x<1, \end{cases}
definida em [0,1] e pede duas séries de Fourier de meia-faixa: só senos (extensão ímpar) e só cossenos (extensão par). Para isso precisamos das fórmulas dos coeficientes em [0,1]:
b_n=\;2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx,
a_0=2\int_{0}^{1}f(x)\,dx, \quad a_n=2\int_{0}^{1}f(x)\,\cos(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Calcular b_n. Como f(x)=1 em [\tfrac12,1] e zero em (0,\tfrac12),
b_n =2\int_{\tfrac12}^{1}\sin(n\pi x)\,dx =2\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{\tfrac12}^{1} =\frac{2}{n\pi}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2}-\cos(n\pi)\Bigr).
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, fica
b_n=\frac{2}{n\pi}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2}-(-1)^n\Bigr).

Passo 3

Calcular a_0 e a_n.
a_0 =2\int_{0}^{1}f(x)\,dx =2\int_{\tfrac12}^{1}1\,dx =1,
a_n =2\int_{\tfrac12}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =2\Bigl[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{\tfrac12}^{1} =-\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}.

Passo 4

Escrever as séries.
Série de senos (extensão ímpar, período 2):
f(x)\;\sim\;\sum_{n=1}^{\infty}b_n\,\sin(n\pi x), \quad b_n=\frac{2}{n\pi}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2}-(-1)^n\Bigr).
Série de cossenos (extensão par, período 2):
f(x)\;\sim\;\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,\cos(n\pi x), \quad a_0=1,\quad a_n=-\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}.

Passo 5

Gráfico da função a que cada série converge (na descontinuidade toma o valor médio):
  • Para a série de senos temos a extensão ímpar em [-1,1]:
    f(x) =0 em (-\tfrac12,\tfrac12), f(x) =1 em (\tfrac12,1), f(x) =- 1 em (-1,-\tfrac12), e repete com período 2.
  • Para a série de cossenos a extensão é par em [-1,1]:
    f(x) =0 em (-\tfrac12,\tfrac12), f(x) =1 em (\tfrac12,1) e também em (-1,-\tfrac12), repetindo período 2.
    Esboçando de -3 a 3 (três períodos), surge uma forma de “onda quadrada” conforme essas extensões.

Resposta

Série de senos (meia-faixa ímpar):
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2}-(-1)^n\Bigr)\,\sin(n\pi x).
Série de cossenos (meia-faixa par):
f(x)\sim\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl(-\frac{2}{n\pi}\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,\cos(n\pi x).
O gráfico convergente é uma onda quadrada de período 2, com os valores definidos acima, estendida por três períodos para -3\le x\le3.

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