Encontre a série de Fourier complexa das seguintes funções:
f(x)=x,-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier complexa de f(x)=x no intervalo -\pi<x<\pi. Para isso, lembramos que qualquer função periódica de período 2\pi pode ser escrita como
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i n x},
onde
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-i n x}\,dx.
Vamos usar essa fórmula para encontrar c_n.

Passo 2

Primeiro calculamos o termo c_0. Temos
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx.
Como x é função ímpar e o intervalo é simétrico, o integral é zero. Logo,
c_0=0.

Passo 3

Agora calculamos c_n para n\neq0:
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-i n x}\,dx.
Fazemos integração por partes, com u=x e dv=e^{-i n x}dx. Obtém-se
\int x\,e^{-i n x}dx =-\frac{x\,e^{-i n x}}{i n}-\frac{e^{-i n x}}{n^2}
avaliado de -\pi a \pi. Usando e^{-i n\pi}=(-1)^n, chega-se a
\int_{-\pi}^{\pi}x\,e^{-i n x}dx =2\pi\,\frac{i(-1)^n}{n}.
Dividindo por 2\pi, fica
c_n=\frac{i(-1)^n}{n},\quad n\neq0.

Passo 4

Reúnindo tudo, a série de Fourier complexa de f(x)=x para -\pi<x<\pi é
x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i n x} =\sum_{\substack{n=-\infty\n\neq0}}^{\infty}\frac{i(-1)^n}{n}\,e^{i n x}.

Resposta

Para n=0:
c_0=0.
Para n\neq0:
c_n=\frac{i(-1)^n}{n}.
Portanto,
x=\sum_{\substack{n=-\infty\n\neq0}}^{\infty}\frac{i(-1)^n}{n}\,e^{i n x}.

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