Exercício 8 (Regra da Cadeia envolvendo funções trigonométricas):
Ache \frac{d y}{d x} se
y=\left(x^{2}+\operatorname{cotg} x^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá
y = \bigl(x^{2} + \cot(x^{2})\bigr)^{3}
e pede \dfrac{dy}{dx}. Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que se y = [u(x)]^{3} então
\frac{dy}{dx} = 3\,[u(x)]^{2}\,\frac{du}{dx},
além da derivada de funções trigonométricas, em particular
\frac{d}{dx}\bigl[\cot(v)\bigr] = -\csc^{2}(v)\,\frac{dv}{dx}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{2} + \cot(x^{2}),
de modo que
y = [u(x)]^{3}.
Pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = 3\,[u(x)]^{2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{du}{dx}. Como
u(x) = x^{2} + \cot(x^{2}),
temos duas parcelas:
  1. \dfrac{d}{dx}[x^{2}] = 2x.
  2. \dfrac{d}{dx}\bigl[\cot(x^{2})\bigr] = -\csc^{2}(x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}[x^{2}] = -\csc^{2}(x^{2}) \cdot 2x.
Somando,
\frac{du}{dx} = 2x - 2x\,\csc^{2}(x^{2}).

Passo 4

Substituindo em \dfrac{dy}{dx} = 3\,[u(x)]^{2}\,\dfrac{du}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = 3\,\bigl(x^{2} + \cot(x^{2})\bigr)^{2} \;\bigl(2x - 2x\,\csc^{2}(x^{2})\bigr).
Podemos fatorar 2x se quisermos simplificar um pouco:
\frac{dy}{dx} = 6x\,\bigl(x^{2} + \cot(x^{2})\bigr)^{2} \bigl(1 - \csc^{2}(x^{2})\bigr).

Resposta

\boxed{ \frac{dy}{dx} = 3\,\bigl(x^{2} + \cot(x^{2})\bigr)^{2} \bigl(2x - 2x\,\csc^{2}(x^{2})\bigr). }

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