Questão 6. Use a Identidade de Parseval para verificar as somas das séries numéricas a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,-\pi<x<-\pi / 2 \\\\ 1,-\pi / 2<x<\pi / 2 \\\\ 0, \pi / 2<x<\pi\end{array} \quad, 1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\ldots=\frac{\pi^{2}}{8}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período 2\pi definida em (-\pi,\pi) por
f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi<x<-\tfrac\pi2,\\\\ 1, & -\tfrac\pi2<x<\tfrac\pi2,\\\\ 0, & \tfrac\pi2<x<\pi, \end{cases}
e pede para usar a Identidade de Parseval a fim de verificar que
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}.

Passo 2

Como f é função par, todos os coeficientes b_n na série de Fourier são zero. O coeficiente a_0 é
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2}1\,dx =1.

Passo 3

Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\tfrac\pi2}\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Como \sin(n\pi/2)=0 para n par e \pm1 para n=2k+1, vale
a_{2k}=0,\quad a_{2k+1}=\frac{2}{\pi(2k+1)}(-1)^k.

Passo 4

Calculamos o lado esquerdo de Parseval, que envolve \int|f|^2:
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\tfrac\pi2}^{\tfrac\pi2}1^2dx =1.

Passo 5

A Identidade de Parseval para séries de Fourier diz
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx =\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr).
Substituindo a_0=1, b_n=0 e o valor de a_n, obtemos
1=\frac{1^2}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi^2(2k+1)^2} \;\Longrightarrow\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.

Resposta

\displaystyle 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}.

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