Questão 1. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir:
f(x)=\left{ \begin{array}{l}e^{-x}, x>0 \\ e^{x}, x<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a representação por integral de Fourier da função
f(x)= \begin{cases} e^{-x},&x>0,\\\ e^{x},&x<0. \end{cases}
O conteúdo envolvido é a transformada de Fourier e a integral inversa de Fourier. Para resolver, vamos primeiro achar a transformada F(\omega) e depois usar a fórmula de inversão.

Passo 2

Calculamos a transformada de Fourier
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx
separando em duas partes:
\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}\,dx +\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}\,dx.
A primeira integral é
\int_{0}^{\infty}e^{-x(1+i\omega)}\,dx =\frac{1}{1+i\omega},
e a segunda, trocando x=-t,
\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{i\omega t}\,dt =\frac{1}{1-i\omega}.
Somando,
F(\omega) =\frac{1}{1+i\omega}+\frac{1}{1-i\omega} =\frac{(1-i\omega)+(1+i\omega)}{1+\omega^2} =\frac{2}{1+\omega^2}.

Passo 3

Usamos a fórmula de inversão da transformada de Fourier complexa:
f(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+\omega^2}\,e^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 4

Como f(x) é função par, podemos também escrever a forma real (integral cosseno):
f(x) =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\omega x)}{1+\omega^2}\,d\omega.

Resposta

A representação por integral de Fourier pode ser dada por
f(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+\omega^2}\,e^{i\omega x}\,d\omega \quad\text{ou}\quad f(x) =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\omega x)}{1+\omega^2}\,d\omega.

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