Encontre a Série de Fourier correspondente a cada função dada.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi \leq x<0 \\\ \operatorname{sen} x, & 0 \leq x \leq \pi\end{array}, f(x+2 \pi)=f(x)\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi \le x<0,\\\ \sin x, & 0\le x\le\pi, \end{cases}
isto é, escrever
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\bigr).
Para isso vamos precisar calcular os coeficientes
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x, \quad a_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)\,\mathrm{d}x, \quad b_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Cálculo de a_{0}. Como f(x)=0 em [-\,\pi,0) e f(x)=\sin x em [0,\pi],
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Cálculo de a_{k} para k\ge1:
a_{k} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(kx)\,\mathrm{d}x.
Fazendo integração por partes e usando identidades, mostra-se que para k ímpar
a_{k}=0,
e para k=2m (par)
a_{2m} =-\frac{4m^{2}+1}{\pi\,m\,(4m^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Cálculo de b_{k} para k\ge1:
b_{k} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(kx)\,\mathrm{d}x.
Usando a ortogonalidade das senóides, obtém-se
b_{1}=\frac{1}{2}, \quad b_{k}=0\quad\text{para }k\neq1.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier fica
f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\bigr) =\frac{1}{\pi} +\frac{1}{2}\sin x +\sum_{m=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4m^{2}+1}{\pi\,m\,(4m^{2}-1)^{2}}\Bigr)\cos(2m\,x).

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{1}{\pi} +\frac{1}{2}\,\sin x -\sum_{m=1}^{\infty}\frac{4m^{2}+1}{\pi\,m\,(4m^{2}-1)^{2}}\;\cos(2m\,x). }

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