Fazendo a mudança para coordenadas polares, calcule as integrais:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{2}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de
\iint_{x^2+y^2\le1}\frac{2}{(1+x^2+y^2)^2}\,dA
sobre o disco unitário x^2+y^2\le1. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares e integração dupla.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o elemento de área
dA = r\,dr\,d\theta,
e a região x^2+y^2\le1 vira
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{2}{(1+r^2)^2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r. Use a substituição
u = 1+r^2,\quad du = 2r\,dr.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{2r}{(1+r^2)^2}\,dr = \int_{u=1}^{2}u^{-2}\,du = \bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{2} = -\frac{1}{2}-(-1) = \frac12.

Passo 4

Agora a integral em \theta é direta:
\int_{0}^{2\pi}\frac12\,d\theta = \frac12\cdot2\pi = \pi.

Resposta

\pi

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