Encontre a Série de Fourier correspondente a cada função dada.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & -\pi<x<0 \\\ x^{2}, & 0 \leq x<\pi\end{array}, f(x+2 \pi)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\\ x^2, & 0\le x<\pi, \end{cases}
com extensão periódica f(x+2\pi)=f(x)\]. O conteúdo é expansão em série de Fourier na forma \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),\] onde \[a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.\] Vamos calcular \(a_0, a_n e b_n usando que f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=x^2 em (0,\pi).

Passo 2

Cálculo de a_0:
a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} =\frac{\pi^2}{3}.

Passo 3

Cálculo de a_n (para n\ge1):
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2\pi(-1)^n}{n^2},
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a_n =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{n^2} =\frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 4

Cálculo de b_n (para n\ge1):
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Após integração por partes chega-se a
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}.
Assim
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl[-\frac{\pi^2(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}\Bigr] =-\frac{(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 5

Reúnindo tudo, a série de Fourier fica
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr) =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(-\frac{(-1)^n}{n} +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx) \Bigr].

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\biggl[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) -\frac{(-1)^n}{n}\,\sin(nx) +\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\,\sin(nx) \biggr]. }

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