Encontre (a) a série de Fourier de cossenos, (b) a série de Fourier de senos. Faça um esboço de f(x) e de suas duas extensões periódicas.
rllx & se & 0

Passo 1

O enunciado pede para obter duas expansões de Fourier para a função definida em [0,π]: uma expansão em cossenos (extensão par) e outra em senos (extensão ímpar). Vamos usar as fórmulas de série de meia-onda em [0,π]:
– Série de cossenos: a₀ = (2/π)∫₀^π f(x) dx, aₙ = (2/π)∫₀^π f(x) cos(nx) dx.
– Série de senos: bₙ = (2/π)∫₀^π f(x) sin(nx) dx.

Passo 2

Calculamos primeiro a₀:
∫₀^π f(x) dx = ∫₀^{π/2} x dx + ∫_{π/2}^π (π/2) dx = π²/8 + π²/4 = 3π²/8.
Portanto
a₀ = 2π cdot 3π²8 = 3π4 ²

Passo 3

Agora o coeficiente aₙ:
integral0^π/2 xcos(nx)dx = π2nsinnπ2 + 1n²l(cosnπ2-1r), ²
integralπ/2^π π2cos(nx)dx = -π2nsinnπ2
Somando e multiplicando por 2/π dá
aₙ = 2πn²l(cosnπ2-1r) ²

Passo 4

A série de cossenos fica então
f(x) sim a₀2 + sumn=1^infty aₙcos(nx) = 3π8 + sumn=1^infty 2l(cos(tfracnπ2)-1r)πn²,cos(nx) ²

Passo 5

Agora o coeficiente bₙ:
integral0^π/2 xsin(nx)dx = -π2ncosnπ2 + 1n²sinnπ2, ²
integralπ/2^π π2sin(nx)dx = -π2nl((-1)^n - costfracnπ2r)
Somando e multiplicando por 2/π leva a
bₙ = 2πn²sinnπ2 - (-1)^nn ²

Passo 6

A série de senos fica
f(x) sim sumn=1^infty bₙsin(nx) = sumn=1^infty l(2sin(tfracnπ2)πn² - (-1)^nnr)sin(nx) ²

Passo 7

Esboço de f(x) em [0,π]: é a reta f(x)=x até x=π/2 e constante f(x)=π/2 até x=π.
Extensão par (cossenos): reflete esse perfil simetricamente em x=0 e periodicamente com período 2π.
Extensão ímpar (senos): reflete com sinal trocado para x<0 e repete de período 2π.

Resposta

a) Série de cossenos:
$$f(x)=\frac{3π}{8}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2\bigl(\cos(\tfrac{nπ}{2})-1\bigr)}{πn²},\cos(nx).
f(x)=3π8+sumn=1^infty 2l(cos(tfracnπ2)-1r)πn²,cos(nx) éf(x)=\sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{2\sin(\tfrac{nπ}{2})}{πn²}-\frac{(-1)^n}{n}\Bigr)\sin(nx).
$$

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