Encontre (a) a série de Fourier de cossenos, (b) a série de Fourier de senos. Faça um esboço de
e de suas duas extensões periódicas.
Passo 1
O enunciado pede para obter duas expansões de Fourier para a função definida em [0,π]: uma expansão em cossenos (extensão par) e outra em senos (extensão ímpar). Vamos usar as fórmulas de série de meia-onda em [0,π]:
– Série de cossenos: a₀ = (2/π)∫₀^π f(x) dx, aₙ = (2/π)∫₀^π f(x) cos(nx) dx.
– Série de senos: bₙ = (2/π)∫₀^π f(x) sin(nx) dx.
– Série de cossenos: a₀ = (2/π)∫₀^π f(x) dx, aₙ = (2/π)∫₀^π f(x) cos(nx) dx.
– Série de senos: bₙ = (2/π)∫₀^π f(x) sin(nx) dx.
Passo 2
Calculamos primeiro a₀:
∫₀^π f(x) dx = ∫₀^{π/2} x dx + ∫_{π/2}^π (π/2) dx = π²/8 + π²/4 = 3π²/8.
Portanto
∫₀^π f(x) dx = ∫₀^{π/2} x dx + ∫_{π/2}^π (π/2) dx = π²/8 + π²/4 = 3π²/8.
Portanto
Passo 3
Agora o coeficiente aₙ:
Somando e multiplicando por 2/π dá
Passo 4
A série de cossenos fica então
Passo 5
Agora o coeficiente bₙ:
Somando e multiplicando por 2/π leva a
Passo 6
A série de senos fica
Passo 7
Esboço de f(x) em [0,π]: é a reta f(x)=x até x=π/2 e constante f(x)=π/2 até x=π.
Extensão par (cossenos): reflete esse perfil simetricamente em x=0 e periodicamente com período 2π.
Extensão ímpar (senos): reflete com sinal trocado para x<0 e repete de período 2π.
Extensão par (cossenos): reflete esse perfil simetricamente em x=0 e periodicamente com período 2π.
Extensão ímpar (senos): reflete com sinal trocado para x<0 e repete de período 2π.
Resposta
a) Série de cossenos:
$$f(x)=\frac{3π}{8}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2\bigl(\cos(\tfrac{nπ}{2})-1\bigr)}{πn²},\cos(nx).
$$