4) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x{2}+9-3}}{x{2}}

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxto 0 raizx^2+9-3x^2. O conteúdo é limite de função com indeterminação do tipo 0/0 e vamos precisar usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Substituindo x=0 diretamente vemos que o numerador fica raiz0^2+9-3=3-3=0 e o denominador é 0^2=0, ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para remover essa indeterminação, usamos a racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx^2+9-3, que é raizx^2+9+3.

Passo 4

Aplicando a racionalização, temos:
[\frac{\sqrt{x2+9}-3}{x2};\cdot;\frac{\sqrt{x2+9}+3}{\sqrt{x2+9}+3} = \frac{(\sqrt{x2+9}-3)(\sqrt{x2+9}+3)}{x2,\bigl(\sqrt{x2+9}+3\bigr)} = \frac{x2}{x2,(\sqrt{x^2+9}+3)}]

Passo 5

Em seguida simplificamos o fator x^2 no numerador e no denominador, obtendo
[\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}]

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite quando xto 0: substituindo, raiz0^2+9+3=3+3=6, logo o limite vale 1/6.

Resposta

1/6

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