4) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x{2}+9-3}}{x{2}}
Passo 1
A questão pede para calcular o limite
. O conteúdo é limite de função com indeterminação do tipo
e vamos precisar usar a técnica de racionalização do numerador.
Passo 2
Substituindo
diretamente vemos que o numerador fica
e o denominador é
, ou seja, temos uma forma indeterminada
.
Passo 3
Para remover essa indeterminação, usamos a racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
.
Passo 4
Aplicando a racionalização, temos:
[\frac{\sqrt{x2+9}-3}{x2};\cdot;\frac{\sqrt{x2+9}+3}{\sqrt{x2+9}+3} = \frac{(\sqrt{x2+9}-3)(\sqrt{x2+9}+3)}{x2,\bigl(\sqrt{x2+9}+3\bigr)} = \frac{x2}{x2,(\sqrt{x^2+9}+3)}]
[\frac{\sqrt{x2+9}-3}{x2};\cdot;\frac{\sqrt{x2+9}+3}{\sqrt{x2+9}+3} = \frac{(\sqrt{x2+9}-3)(\sqrt{x2+9}+3)}{x2,\bigl(\sqrt{x2+9}+3\bigr)} = \frac{x2}{x2,(\sqrt{x^2+9}+3)}]
Passo 5
Em seguida simplificamos o fator
no numerador e no denominador, obtendo
[\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}]
[\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}]
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite quando
: substituindo,
, logo o limite vale
.
Resposta
1/6