Temos a equação y'' + 4y = f(t) com y(0)=0, y'(0)=0 e forçamento em degrau no intervalo [pi,3pi). O conteúdo aqui é a solução de EDO linear de segunda ordem via transformada de Laplace ou via integral de convolução usando a resposta ao impulso do sistema.
Passo 2
Para a equação y''+4y=0 com condições nulas a resposta ao impulso é h(t)=12sin(2t). A teoria diz que, para forçamento f(t), a solução é dado por
y(t)=integral0^th(t-s),f(s),ds
Passo 3
Como f(t)=0 fora de [pi,3pi) e vale 2 dentro desse intervalo, temos
y(t)=integralpi^min(t,3pi)sinl(2(t-s)r),ds
pois o fator 2 de f(s) cancela com o tfrac12 de h.
Passo 4
Para calcular essa integral fazemos u=t-s, o que dá