y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0, em que f(t)=ll0, & para 0 <= t= 3 pi

Passo 1

Temos a equação y'' + 4y = f(t) com y(0)=0, y'(0)=0 e forçamento em degrau no intervalo [pi,3pi). O conteúdo aqui é a solução de EDO linear de segunda ordem via transformada de Laplace ou via integral de convolução usando a resposta ao impulso do sistema.

Passo 2

Para a equação y''+4y=0 com condições nulas a resposta ao impulso é h(t)=12sin(2t). A teoria diz que, para forçamento f(t), a solução é dado por
y(t)=integral0^th(t-s),f(s),ds

Passo 3

Como f(t)=0 fora de [pi,3pi) e vale 2 dentro desse intervalo, temos
y(t)=integralpi^min(t,3pi)sinl(2(t-s)r),ds
pois o fator 2 de f(s) cancela com o tfrac12 de h.

Passo 4

Para calcular essa integral fazemos u=t-s, o que dá
integralpi^bsin(2(t-s)),ds=integralu=t-b^t-pisin(2u)(-du) =integralu=t-pi^t-bsin(2u),du =-tfrac12l[cos(2u)r]u=t-pi^u=t-b =tfrac12l[cos(2(t-b))-cos(2(t-pi))r],
onde b=min(t,3pi).

Passo 5

Agora separamos os casos: para 0<= t não há nada para integrar e y(t)=0. Para pi<= t<3pi temos b=t, então
y(t)=tfrac12l[cos0-cos(2(t-pi))r]=tfrac12l[1-cos2(t-pi)r]
Para t>=3pi temos b=3pi, o que leva a
y(t)=tfrac12l[cos2(t-3pi)-cos2(t-pi)r] =tfrac12[cos2t-cos2t]=0

Resposta

y(t)= 0,&0<= t=3pi

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