Uma partícula se movimenta entre os pontos (2,0,0) e (0,1, pi / 2) do espaço ao longo da hélice r(t):=(2 cos (t), sin (t), t). Considerando os campos vetoriais F(x, y, z):=-y i+x j+4 z k e G=nabla g onde g(x, y, z)=x+y-e^2 x y z, denotamos por TF e TG os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos F e G respectivamente. Então podemos concluir que:
TG=0 porque G é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move entre os pontos (2,0,0) e (0,1,pi/2) ao longo de uma hélice dada por r(t) = (2cos(t), sin(t), t). Estamos analisando os trabalhos feitos por dois campos vetoriais, F e G, onde G é o gradiente de uma função escalar g(x, y, z) = x + y - e^2xyz. Precisamos entender por que o trabalho feito por G, chamado TG, é igual a zero, já que G é um campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial G é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar g, ou seja, G = nabla g. Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o trabalho realizado ao mover uma partícula entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho seguido.

Passo 3

No nosso caso, como G = nabla g, sabemos que G é, de fato, um campo conservativo. Agora, vamos usar a propriedade dos campos conservativos sobre o trabalho realizado. Se movermos uma partícula de um ponto A para um ponto B, o trabalho realizado por um campo conservativo é dado por:
TG = g(B) - g(A)

Passo 4

Vamos calcular g(B) - g(A) onde A = (2,0,0) e B = (0,1,pi/2). Substituindo esses valores na função g:
g(A) = g(2, 0, 0) = 2 + 0 - e^2 cdot 2 cdot 0 cdot 0 = 2 + 0 - e^0 = 2 - 1 = 1
g(B) = g(0, 1, pi2) = 0 + 1 - e^2 cdot 0 cdot 1 cdot pi2 = 0 + 1 - e^0 = 1 - 1 = 0
Então,
TG = g(B) - g(A) = 0 - 1 = -1

Passo 5

Mas, olha só, houve uma confusão aqui! Na verdade, para um campo conservativo, o trabalho TG é igual a g(A) - g(B), não g(B) - g(A). Vamos corrigir isso:
TG = g(A) - g(B) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Apesar dessa correção, a pergunta inicial afirma que TG = 0 porque G é conservativo. Isso só seria verdade se os pontos A e B fossem o mesmo, o que não é o caso. Portanto, a afirmação de que TG = 0 está incorreta a menos que haja alguma condição adicional, como um caminho fechado onde o ponto inicial e final são o mesmo.

Resposta

Portanto, na verdade, o trabalho TG realizado pelo campo conservativo G não é zero, mas sim 1, já que TG = g(A) - g(B) = 1 - 0 = 1.

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