Uma partícula se movimenta entre os pontos
e
do espaço ao longo da hélice
. Considerando os campos vetoriais
e
onde
, denotamos por
e
os trabalhos feitos ao movimentar a partícula sob a ação dos campos
e
respectivamente. Então podemos concluir que:
porque
é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se move entre os pontos
e
ao longo de uma hélice dada por
. Estamos analisando os trabalhos feitos por dois campos vetoriais,
e
, onde
é o gradiente de uma função escalar
. Precisamos entender por que o trabalho feito por
, chamado
, é igual a zero, já que
é um campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o trabalho realizado ao mover uma partícula entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho seguido.
Passo 3
No nosso caso, como
, sabemos que
é, de fato, um campo conservativo. Agora, vamos usar a propriedade dos campos conservativos sobre o trabalho realizado. Se movermos uma partícula de um ponto
para um ponto
, o trabalho realizado por um campo conservativo é dado por:
Passo 4
Vamos calcular
onde
e
. Substituindo esses valores na função
:
Então,
Passo 5
Mas, olha só, houve uma confusão aqui! Na verdade, para um campo conservativo, o trabalho
é igual a
, não
. Vamos corrigir isso:
Passo 6
Apesar dessa correção, a pergunta inicial afirma que
porque
é conservativo. Isso só seria verdade se os pontos
e
fossem o mesmo, o que não é o caso. Portanto, a afirmação de que
está incorreta a menos que haja alguma condição adicional, como um caminho fechado onde o ponto inicial e final são o mesmo.
Resposta
Portanto, na verdade, o trabalho
realizado pelo campo conservativo
não é zero, mas sim
, já que
.