Se F é uma força que atua sobre (x, y), calcule o trabalho ao longo da curva C , onde:
F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(-y, x).
C é o arco da parábola y=x^2 entre A(0,0) e B(3,9).
Considere C orientada de A para B.

Passo 1

Aqui a gente precisa calcular o trabalho da força F(x,y)=(-y,x) ao longo da curva C que é o arco da parábola y=x^2 indo de A(0,0) até B(3,9). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, então vamos usar a definição W=integralCFcdot dr.

Passo 2

Para montar essa integral, primeiro parametrizamos a curva. Como y=x^2, definimos x=t e y=t^2, com t variando de 0 a 3. Assim obtemos dr=(dx,dy)=(dt,2t,dt).

Passo 3

Agora substituímos F(x(t),y(t))=(-t^2,t) e dr=(dt,2t,dt) na integral. Fica:
W=integral0^3l(-t^2cdot1 + tcdot2tr),dt = integral0^3(-t^2+2t^2),dt

Passo 4

No integrando, -t^2+2t^2 = t^2, então
W = integral0^3 t^2,dt = [t^33]0^3 = 273 = 9

Resposta

9

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