Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=cc0, & -pi2 <= x<0 cos x, & 0 <= x <= pi2

Passo 1

A função é periódica de período π e definida em um intervalo de comprimento π: de –π/2 a π/2. Vamos usar a fórmula da série de Fourier em –L ≤ x ≤ L com L = π/2, isto é, escrever
f(x) = a₀/2 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(2n x) + b_n\sin(2n x)\bigr),
onde
– a₀ = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x),dx,
– a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\pi x/L\bigr),dx,
– b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr),dx.

Passo 2

Para calcular a₀, usamos L = π/2 e o fato de f(x)=0 em –π/2≤x<0 e f(x)=cos x em 0≤x≤π/2. Assim,
a₀ = 1Lintegral-L^Lf(x),dx = 2piintegral0^pi/2cos x,dx = 2pi[sin x]0^pi/2 = 2pi

Passo 3

Para a_n (n≥1),
an = 2piintegral0^pi/2cos xcos(2n x),dx
Usando identidade de produto:
cos xcos(2n x) = tfrac12l(cos((2n+1)x) + cos((2n-1)x)r)
e avaliando, obtemos
an = 2(-1)^n+1pi,(4n^2-1)

Passo 4

Para b_n (n≥1),
bn = 2piintegral0^pi/2cos xsin(2n x),dx
Usando identidade de produto:
cos xsin(2n x) = tfrac12l(sin((2n+1)x)+sin((2n-1)x)r)
e avaliando, como os cossenos de múltiplos ímpares de π/2 se anulam, resulta
bn = 4npi,(4n^2-1)

Passo 5

Juntando tudo, temos a série de Fourier:

Resposta

f(x) = 1pi + sumn=1^inftyl(2(-1)^n+1pi(4n^2-1)cos(2n x) + 4npi(4n^2-1)sin(2n x)r)

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