Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
A função é periódica de período π e definida em um intervalo de comprimento π: de –π/2 a π/2. Vamos usar a fórmula da série de Fourier em –L ≤ x ≤ L com L = π/2, isto é, escrever
f(x) = a₀/2 + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(2n x) + b_n\sin(2n x)\bigr),
onde
– a₀ = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x),dx,
– a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\pi x/L\bigr),dx,
– b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr),dx.
– a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\pi x/L\bigr),dx,
– b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr),dx.
Passo 2
Para calcular a₀, usamos L = π/2 e o fato de f(x)=0 em –π/2≤x<0 e f(x)=cos x em 0≤x≤π/2. Assim,
Passo 3
Para a_n (n≥1),
Usando identidade de produto:
e avaliando, obtemos
Passo 4
Para b_n (n≥1),
Usando identidade de produto:
e avaliando, como os cossenos de múltiplos ímpares de π/2 se anulam, resulta
Passo 5
Juntando tudo, temos a série de Fourier: