Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
a) y=x+1, y=9-x^2, x=-1, x=2
b) y=sen(x), y=x^2
c) y=x^2, y=x^4
d) raizx+raizy=1 x+y=1
e) y=1 / x, y=1 / x^2, x=2
f) x=2 y^2 x+y=1
g) y=cos (x) y=1-2 x / pi
h) y=sen(pi x) y=x^2-x x=2
i) y=sec ^2(x) y=cos (x), x=--pi3 x= -pi3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x + 1 $, $ y = 9 - x^{2} $, $ x = -1 $ e $ x = 2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente para encontrar a área entre curvas. Precisamos decidir se vamos integrar em relação a $ x $ ou a $ y $. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas $ y = x + 1 $ e $ y = 9 - x^{2} $. Para isso, igualamos as duas equações:
y = x + 1

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
x
Usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 + x + 1 - 9 = 0 x^2 + x - 8 = 0
Então, os pontos de interseção são:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a a = 1, b = 1, c = -8 x = -1 pm raiz1 + 322 x = -1 pm raiz332

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites de integração dados pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Observando que $ x = 2.372 $ está fora desse intervalo, então vamos considerar apenas o intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $.

Passo 5

Para decidir se vamos integrar em relação a $ x $ ou a $ y $, vamos ver qual variável facilita mais nosso cálculo. Aqui, integrar em relação a $ x $ é mais simples porque os limites de $ x $ já estão definidos (de -1 a 2).

Passo 6

Agora, identificamos qual curva está por cima e qual está por baixo no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $. Vamos calcular $ y $ para alguns valores de $ x $ dentro desse intervalo:
Por exemplo, para $ x = 0 $:
x = -1
Então, $ y = 9 - x^{2} $ está acima de $ y = x + 1 $.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de integração. Portanto, a área $ A $ é:
A

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(9 - x^2) - (x + 1) = 9 - x^2 - x - 1 = -x^2 - x + 8
Então, a integral fica:
A = integral-1^2 (-x^2 - x + 8) dx

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral:
integral (-x^2 - x + 8) dx = -x^33 - x^22 + 8x + C

Passo 10

Aplicando os limites de integração de -1 a 2:
A = [ -(2)^33 - (2)^22 + 8(2) ] - [ -(-1)^33 - (-1)^22 + 8(-1) ]
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
-83 - 42 + 16 = -83 - 2 + 16 = -83 + 14 = -8 + 423 = 343

Passo 11

Subtraindo as duas partes:
A = 343 - ( -496 ) = 343 + 496 = 686 + 496 = 1176 = 19,5

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ 19,5 $ unidades de área.

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