Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável
ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
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f)
g)
h)
i)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que esboçar a região delimitada pelas curvas $ y = x + 1 $, $ y = 9 - x^{2} $, $ x = -1 $ e $ x = 2 $. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente para encontrar a área entre curvas. Precisamos decidir se vamos integrar em relação a $ x $ ou a $ y $. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas $ y = x + 1 $ e $ y = 9 - x^{2} $. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites de integração dados pelas retas $ x = -1 $ e $ x = 2 $. Observando que $ x = 2.372 $ está fora desse intervalo, então vamos considerar apenas o intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $.
Passo 5
Para decidir se vamos integrar em relação a $ x $ ou a $ y $, vamos ver qual variável facilita mais nosso cálculo. Aqui, integrar em relação a $ x $ é mais simples porque os limites de $ x $ já estão definidos (de -1 a 2).
Passo 6
Agora, identificamos qual curva está por cima e qual está por baixo no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $. Vamos calcular $ y $ para alguns valores de $ x $ dentro desse intervalo:
Por exemplo, para $ x = 0 $:
Então, $ y = 9 - x^{2} $ está acima de $ y = x + 1 $.
Passo 7
A área entre as curvas é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo, no intervalo de integração. Portanto, a área $ A $ é:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 10
Aplicando os limites de integração de -1 a 2:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 11
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ 19,5 $ unidades de área.