Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador receberão um prêmio de
5010,00$, dividido em três partes inversamente proporcionais à quantidade de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação de cada jogador, respectivamente?
Passo 1
O enunciado pede que a quantia total de
seja dividida em três partes inversamente proporcionais à quantidade de faltas cometidas pelos três jogadores. Os dados fornecidos são:
- Jogador A:
faltas. - Jogador B:
faltas. - Jogador C:
faltas.
A pergunta é: qual a premiação de cada jogador, respectivamente (para os jogadores com, e faltas)?
Passo 2
Entendendo “inversamente proporcionais”: se as quantias
são inversamente proporcionais às faltas
, isso significa que cada
é proporcional ao inverso de
. Formalmente existe uma constante
tal que, para cada
,
Aqui
,
,
. A constante
é determinada pela condição de que a soma das partes seja o total
:
Substituindo a forma de
obtemos a fórmula para
:
Passo 3
Vamos calcular a soma dos inversos exatamente, usando frações para não depender de aproximações:
O mínimo múltiplo comum de
é
. Escrevendo tudo com denominador
:
Somando:
Passo 4
Agora calculamos
usando
. Escrevendo
como número na fórmula:
Multiplicando por inverso:
Observe que
. Então simplifica muito bem:
Portanto
. (Aqui
tem unidade de reais porque multiplicado pelo inverso das faltas dá cada
.)
Passo 5
Agora calculamos cada prêmio pela fórmula
.
- Para o jogador com
faltas:
Ou seja
.
- Para o jogador com
faltas:
Ou seja
.
- Para o jogador com
faltas:
Ou seja
.
Passo 6
Verificação rápida: somando as três partes deve voltar ao total:
ou seja
. Está correto.