Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador receberão um prêmio de \mathrm{R} \ 5010,00$, dividido em três partes inversamente proporcionais à quantidade de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação de cada jogador, respectivamente?

Passo 1

O enunciado pede que a quantia total de \text{R\$ }5010{,}00 seja dividida em três partes inversamente proporcionais à quantidade de faltas cometidas pelos três jogadores. Os dados fornecidos são:
  • Jogador A: \,5 faltas.
  • Jogador B: \,7 faltas.
  • Jogador C: \,11 faltas.
    A pergunta é: qual a premiação de cada jogador, respectivamente (para os jogadores com \,5, \,7 e \,11 faltas)?

Passo 2

Entendendo “inversamente proporcionais”: se as quantias S_1,S_2,S_3 são inversamente proporcionais às faltas f_1,f_2,f_3, isso significa que cada S_i é proporcional ao inverso de f_i. Formalmente existe uma constante k tal que, para cada i,
S_i = k\cdot\frac{1}{f_i}.
Aqui f_1=5, f_2=7, f_3=11. A constante k é determinada pela condição de que a soma das partes seja o total T=\text{R\$ }5010{,}00:
S_1+S_2+S_3 = T.
Substituindo a forma de S_i obtemos a fórmula para k:
k\left(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\frac{1}{f_3}\right) = T \quad\Rightarrow\quad k = \frac{T}{\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}+\dfrac{1}{f_3}}.

Passo 3

Vamos calcular a soma dos inversos exatamente, usando frações para não depender de aproximações:
\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\frac{1}{f_3} = \frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}.
O mínimo múltiplo comum de 5,7,11 é 385. Escrevendo tudo com denominador 385:
\frac{1}{5}=\frac{77}{385},\qquad \frac{1}{7}=\frac{55}{385},\qquad \frac{1}{11}=\frac{35}{385}.
Somando:
\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}=\frac{77+55+35}{385}=\frac{167}{385}.

Passo 4

Agora calculamos k usando T=\text{R\$ }5010{,}00. Escrevendo T como número na fórmula:
k = \frac{5010}{\dfrac{167}{385}}.
Multiplicando por inverso:
k = 5010\cdot\frac{385}{167}.
Observe que 167\cdot 30 = 5010. Então simplifica muito bem:
k = 30\cdot385 = 11550.
Portanto k=11550. (Aqui k tem unidade de reais porque multiplicado pelo inverso das faltas dá cada S_i.)

Passo 5

Agora calculamos cada prêmio pela fórmula S_i = k\cdot\frac{1}{f_i}.
  • Para o jogador com \,5 faltas:
S_1 = 11550\cdot\frac{1}{5} = \frac{11550}{5} = 2310.
Ou seja \text{R\$ }2310{,}00.
  • Para o jogador com \,7 faltas:
S_2 = 11550\cdot\frac{1}{7} = \frac{11550}{7} = 1650.
Ou seja \text{R\$ }1650{,}00.
  • Para o jogador com \,11 faltas:
S_3 = 11550\cdot\frac{1}{11} = \frac{11550}{11} = 1050.
Ou seja \text{R\$ }1050{,}00.

Passo 6

Verificação rápida: somando as três partes deve voltar ao total:
2310+1650+1050 = 5010,
ou seja \text{R\$}2310{,}00+\text{R\$ }1650{,}00+\text{R\$}1050{,}00=\text{R\$ }5010{,}00. Está correto.

Resposta

\text{R\$ }2310{,}00
\text{R\$ }1650{,}00
\text{R\$ }1050{,}00

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