(1.0) Determine o fator integrante adequado para que a equação
seja uma EDO exata.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar um fator integrante que torne essa equação exata.
Informações extraídas do enunciado:
-
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ). - Objetivo: encontrar
(dependendo de ou de , ou outra forma) tal que seja exata.
Passo 2
Lembrete da definição de exatidão (mini-aula): uma equação
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática para testar exatidão é verificar se
Se essa igualdade não vale, a equação não é exata, e procura-se um fator integrante
que dependa só de
ou só de
(caso simples) para corrigir isso.
Calculemos as derivadas parciais (passo a passo):
Como
a equação NÃO é exata inicialmente.
Passo 3
Mini-aula sobre fator integrante dependente de
: se existir um fator integrante
então, para a equação multiplicada por
ser exata, deve valer que
desde que o lado direito seja função apenas de
. A forma prática usada na prova é:
quando
depende só de
. Há um teste análogo para
usando
.
Passo 4
Calculemos a razão indicada para ver se depende apenas de
:
Repare que, ao simplificar, obtivemos a constante
, que é função apenas de
(na verdade independente de
e
). Portanto podemos usar um fator integrante que depende só de
.
Usando a fórmula,
Passo 5
Verificação (importante na prova): multiplicamos a equação original por
e checamos exatidão.
Defina
Calcule as parciais:
As duas expressões são iguais:
logo a equação multiplicada por
é exata. Portanto
é um fator integrante válido.
Passo 6
Breve comentário sobre os próximos passos (como resolver na prova): com a equação exata obtida, procura-se
tal que
. Integra-se
em relação a
(tratando
como constante), obtém-se
até uma função arbitrária
. Em seguida impõe-se
para determinar
. A solução geral fica
.