(1.0) Determine o fator integrante adequado para que a equação
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0
seja uma EDO exata.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0
e pede: determinar um fator integrante que torne essa equação exata.
Informações extraídas do enunciado:
  • M(x,y)=3 x^{2} y+2 x y+y^{3} (coeficiente de d x).
  • N(x,y)=x^{2}+y^{2} (coeficiente de d y).
  • Objetivo: encontrar \mu (dependendo de x ou de y, ou outra forma) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.

Passo 2

Lembrete da definição de exatidão (mini-aula): uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática para testar exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade não vale, a equação não é exata, e procura-se um fator integrante \mu que dependa só de x ou só de y (caso simples) para corrigir isso.
Calculemos as derivadas parciais (passo a passo):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\big(3x^{2}y+2xy+y^{3}\big) =3x^{2}+2x+3y^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\big(x^{2}+y^{2}\big) =2x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2}+2x+3y^{2}\neq 2x=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação NÃO é exata inicialmente.

Passo 3

Mini-aula sobre fator integrante dependente de x: se existir um fator integrante \mu=\mu(x) então, para a equação multiplicada por \mu(x) ser exata, deve valer que
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N},
desde que o lado direito seja função apenas de x. A forma prática usada na prova é:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right),
quando \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} depende só de x. Há um teste análogo para \mu=\mu(y) usando \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}.

Passo 4

Calculemos a razão indicada para ver se depende apenas de x:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(3x^{2}+2x+3y^{2})-2x}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =3.
Repare que, ao simplificar, obtivemos a constante 3, que é função apenas de x (na verdade independente de x e y). Portanto podemos usar um fator integrante que depende só de x.
Usando a fórmula,
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3\,dx\right)=\exp(3x)=e^{3x}.

Passo 5

Verificação (importante na prova): multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x} e checamos exatidão.
Defina
\widetilde{M}(x,y)=e^{3x}(3x^{2}y+2xy+y^{3}),\qquad \widetilde{N}(x,y)=e^{3x}(x^{2}+y^{2}).
Calcule as parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y} = e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2}),
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} = 3e^{3x}(x^{2}+y^{2})+e^{3x}(2x) = e^{3x}\big(3(x^{2}+y^{2})+2x\big) = e^{3x}(3x^{2}+3y^{2}+2x).
As duas expressões são iguais:
e^{3x}(3x^{2}+2x+3y^{2})=e^{3x}(3x^{2}+3y^{2}+2x),
logo a equação multiplicada por e^{3x} é exata. Portanto \mu(x)=e^{3x} é um fator integrante válido.

Passo 6

Breve comentário sobre os próximos passos (como resolver na prova): com a equação exata obtida, procura-se \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\widetilde{M}. Integra-se \widetilde{M} em relação a x (tratando y como constante), obtém-se \Phi(x,y) até uma função arbitrária h(y). Em seguida impõe-se \partial\Phi/\partial y=\widetilde{N} para determinar h(y). A solução geral fica \Phi(x,y)=C.

Resposta

\mu(x)=e^{3x}

Exercícios relacionados