Dados vetores u, v e w tais que (u times v) cdot w=3. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
a. ((-2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+5 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=-30
b. ((-2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+5 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=9
c. ((-2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+5 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=15
d. ((-2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+5 stackrelharpoonupw)) cdot v=30
e. ((-2 stackrelharpoonupu-stackrelharpoonupv) times(stackrelharpoonupv+5 stackrelharpoonupw)) cdot stackrelharpoonupv=-15

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra vetorial que envolve produtos vetoriais e escalares. A questão nos dá que (u times v) cdot w = 3 e pede para a gente calcular outra expressão envolvendo esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir produtos vetoriais e usar propriedades do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão que precisamos calcular:
((-2,u - v) times (v + 5,w)) cdot v
Para facilitar, vamos chamar:
A = -2,u - v e B = v + 5,w
Então, nossa expressão fica:
(A times B) cdot v

Passo 3

Vamos expandir o produto vetorial A times B. Usando a propriedade distributiva do produto vetorial:
A times B = (-2,u - v) times (v + 5,w) = -2,u times v - 2,u times 5,w - v times v - v times 5,w

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. -2,u times v permanece como está.
  2. -2,u times 5,w = -10,u times w
  3. v times v = 0 (produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero)
  4. -v times 5,w = -5,v times w
Então, a expressão fica:
A times B = -2,u times v -10,u times w -5,v times w

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar dessa expressão com v:
(A times B) cdot v = (-2,u times v -10,u times w -5,v times w) cdot v
Podemos distribuir o produto escalar:
= -2,(u times v) cdot v -10,(u times w) cdot v -5,(v times w) cdot v

Passo 6

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. (u times v) cdot v = 0 porque o produto vetorial u times v é perpendicular a v.
  2. (u times w) cdot v é o produto misto, que pode ser reescrito como (u times v) cdot w pelo ciclo das propriedades do produto misto. E sabemos que isso é igual a 3.
  3. (v times w) cdot v = 0 pelo mesmo motivo do primeiro termo.
Então, substituindo:
= -2 times 0 -10 times 3 -5 times 0 = -30

Resposta

A resposta correta é a letra a. -30.

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