Uma face de um cubo está no plano -2x-4y-z-10=0 e outra face está no plano -6x-12y-3z+2=0. Escreva o volume deste cubo com uma casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo onde uma das faces está no plano -2x -4y -z -10=0 e outra face no plano -6x -12y -3z +2=0. O conteúdo que vamos usar aqui é a geometria dos planos e a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. Precisamos encontrar essa distância, que será o tamanho da aresta do cubo, e depois calcular o volume usando essa medida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os coeficientes de x, y e z forem proporcionais. Observando os planos:
  • Primeiro plano: -2x -4y -z -10=0 (Coeficientes: -2, -4, -1)
  • Segundo plano: -6x -12y -3z +2=0 (Coeficientes: -6, -12, -3)
Vemos que os coeficientes do segundo plano são 3 vezes os do primeiro ( -6 = 3*(-2), -12 = 3*(-4), -3 = 3*(-1)), então os planos são paralelos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre esses dois planos, que será igual ao comprimento da aresta do cubo. A fórmula para a distância d entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
d = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2
Antes de aplicar a fórmula, precisamos que os planos tenham os mesmos coeficientes A, B e C. Vamos dividir o segundo plano por 3 para igualar aos coeficientes do primeiro:
-6x -12y -3z +23 = -2x -4y -z + 23 = 0
Agora, temos:
  • Primeiro plano: $ -2x -4y -z -10=0 $ ( -2x -4y -z -10=0 )
  • Segundo plano ajustado: $ -2x -4y -z +\frac{2}{3}=0 $ ( D1 = -10)
Aplicando a fórmula:
-2x -4y -z +23=0
Calculando o valor numérico:
D2 = 23

Passo 4

Agora que temos o comprimento da aresta do cubo ( s = 2.33), podemos calcular o volume V do cubo usando a fórmula:
V = s^3
Substituindo:
V = (2.33)^3 approx 12.6 unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do cubo é aproximadamente 12,6 unidades cúbicas.

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