Uma face de um cubo está no plano e outra face está no plano . Escreva o volume deste cubo com uma casa decimal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cubo onde uma das faces está no plano e outra face no plano . O conteúdo que vamos usar aqui é a geometria dos planos e a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. Precisamos encontrar essa distância, que será o tamanho da aresta do cubo, e depois calcular o volume usando essa medida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os coeficientes de , e forem proporcionais. Observando os planos:
Primeiro plano: (Coeficientes: )
Segundo plano: (Coeficientes: )
Vemos que os coeficientes do segundo plano são 3 vezes os do primeiro (, , ), então os planos são paralelos.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre esses dois planos, que será igual ao comprimento da aresta do cubo. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
Antes de aplicar a fórmula, precisamos que os planos tenham os mesmos coeficientes , e . Vamos dividir o segundo plano por 3 para igualar aos coeficientes do primeiro:
Agora, temos:
Primeiro plano: $ -2x -4y -z -10=0 $ ()
Segundo plano ajustado: $ -2x -4y -z +\frac{2}{3}=0 $ ()
Aplicando a fórmula:
Calculando o valor numérico:
D2 = 23
Passo 4
Agora que temos o comprimento da aresta do cubo (s = 2.33), podemos calcular o volume V do cubo usando a fórmula:
V = s^3
Substituindo:
V = (2.33)^3 approx 12.6 unidades cúbicas ú
Resposta
O volume do cubo é aproximadamente 12,6 unidades cúbicas.