Encontre a série de Fourier da função dada de periodo 2.
f(x)=1-x^2, -1 <= x<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Séries de Fourier! O problema pede pra gente encontrar a série de Fourier da função $ f(x) = 1 - x^{2} $ que tem período 2, definida no intervalo $ -1 \leq x < 1 $. Para isso, vamos precisar entender como expandir essa função em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que como a função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é par (ou seja, $ f(-x) = f(x) $), a série de Fourier dela vai conter apenas termos de cosseno. Isso simplifica a nossa vida porque não precisamos nos preocupar com os termos de seno.

Passo 3

A série de Fourier para funções pares com período $ 2L $ (neste caso, $ L = 1 $) é dada por:
2L
Como $ L = 1 $, a fórmula fica:
L = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular os coeficientes $ a_0 $ e $ a_n $. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Com $ L = 1 $:
an

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
a0 = 2 [ integral-1^1 1 , dx - integral-1^1 x^2 , dx ]
= 2 [ x |-1^1 - x^33 |-1^1 ]
= 2 [ (1 - (-1)) - ( 13 - (-13) ) ]
= 2 [ 2 - 23 ] = 2 times 43 = 83

Passo 6

Então, $ a_0 = \frac{8}{3} $.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ usando a fórmula:
an
Com $ L = 1 $:
an = 2L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx
Como a função é par e o cosseno também é par, podemos simplificar para:
L = 1

Passo 8

Vamos resolver essa integral por partes. Vamos considerar:
integral (1 - x^2) cos(npi x) , dx = integral cos(npi x) , dx - integral x^2 cos(npi x) , dx
A primeira integral é simples:
integral cos(npi x) , dx = sin(npi x)npi
A segunda integral requer integração por partes duas vezes. Após resolver, encontramos:
integral x^2 cos(npi x) , dx = x^2 sin(npi x)npi - 2x cos(npi x)(npi)^2 + 2 sin(npi x)(npi)^3

Passo 9

Aplicando os limites de 0 a 1 e substituindo na expressão original, após simplificar, obtemos:
an = 4 times 2 (-1)^n(npi)^2
Logo:
an = 8 (-1)^n(npi)^2

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) = 1 - x^{2} $ com período 2 é:
f(x) = 1 - x^2

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