Encontre a série de Fourier da função dada de periodo 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Séries de Fourier! O problema pede pra gente encontrar a série de Fourier da função $ f(x) = 1 - x^{2} $ que tem período 2, definida no intervalo $ -1 \leq x < 1 $. Para isso, vamos precisar entender como expandir essa função em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que como a função $ f(x) = 1 - x^{2} $ é par (ou seja, $ f(-x) = f(x) $), a série de Fourier dela vai conter apenas termos de cosseno. Isso simplifica a nossa vida porque não precisamos nos preocupar com os termos de seno.
Passo 3
A série de Fourier para funções pares com período $ 2L $ (neste caso, $ L = 1 $) é dada por:
Como $ L = 1 $, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular os coeficientes $ a_0 $ e $ a_n $. A fórmula para $ a_0 $ é:
Com $ L = 1 $:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Passo 6
Então, $ a_0 = \frac{8}{3} $.
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ usando a fórmula:
Com $ L = 1 $:
Como a função é par e o cosseno também é par, podemos simplificar para:
Passo 8
Vamos resolver essa integral por partes. Vamos considerar:
A primeira integral é simples:
A segunda integral requer integração por partes duas vezes. Após resolver, encontramos:
Passo 9
Aplicando os limites de 0 a 1 e substituindo na expressão original, após simplificar, obtemos:
Logo:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) = 1 - x^{2} $ com período 2 é: