Encontre a série de Fourier da função dada de periodo 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a série de Fourier para a função $ f(x) = x - x^{3} $, que tem período 2 e está definida no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que ajudam a expressar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar conhecer as fórmulas para calcular os coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar, pois isso simplifica os cálculos. Uma função $ f(x) $ é par se $ f(-x) = f(x) $ e ímpar se $ f(-x) = -f(x) $. Vamos verificar:
$ f(-x) = -x - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x) $
Então, $ f(x) $ é uma função ímpar. Isso significa que na série de Fourier teremos apenas termos de seno, porque os cossenos correspondem a funções pares.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes de Fourier. Como a função é ímpar, só teremos o termo de $ b_n $. A fórmula para $ b_n $ em uma série de Fourier com período $ 2L $ é:
No nosso caso, o período é 2, então $ L = 1 $. A fórmula simplifica para:
Como a função é ímpar e o seno também é ímpar, o produto será par, o que nos permite calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Vamos calcular essa integral:
Primeiro, separamos em duas partes:
Usaremos integração por partes para resolver essas integrais.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral $ \int_{0}^{1} x \sin(n\pi x) dx $:
Escolhemos $ u = x $ e $ dv = \sin(n\pi x) dx $. Então, $ du = dx $ e $ v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) $.
Aplicando integração por partes:
Agora, vamos resolver a segunda integral $ \int_{0}^{1} x^{3} \sin(n\pi x) dx $:
Vamos usar integração por partes duas vezes. Primeiro, deixamos $ u = x^3 $ e $ dv = \sin(n\pi x) dx $. Então, $ du = 3x^2 dx $ e $ v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) $.
Aplicando integração por partes:
Agora, precisamos integrar $ \int x^2 \cos(n\pi x) dx $. Repetimos a integração por partes com $ u = x^2 $ e $ dv = \cos(n\pi x) dx $, resultando em:
Já calculamos $ \int x \sin(n\pi x) dx $ anteriormente, que foi $ -\frac{(-1)^n}{n\pi} $.
Substituindo tudo de volta:
Passo 5
Agora, juntando tudo para $ b_n $:
Então, $ b_n = -\frac{12(-1)n}{(n\pi)3} $.
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) = x - x^{3} $ com período 2 é: