Nos problemas de 1 a 3, é dada uma função f\) em um intervalo de comprimento \(L\). Em cada caso, esboce os gráficos das extensões par e ímpar de \(f\) de período \(2 L\). \(f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<2 \\\ 1, & 2 \leq x<3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função f\) em \([0,3)\) (portanto \(L=3\)) definida por \[f(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x<2,\\\\ 1, & 2 \le x<3. \end{cases}
Pede-se o esboço das extensões par e ímpar de f\] de período \(2L=6. Vamos primeiro construir cada extensão em [-3,3] e depois indicar a repetição periódica.

Passo 2

A extensão par f_e deve satisfazer f_e(x)=f_e(-x) e coincidir com f em [0,3]. Logo, para -3<x<3 temos
f_e(x)=f(|x|)= \begin{cases} |x|, & |x|<2,\\\\ 1, & 2 \le |x|<3. \end{cases}

Passo 3

Para tornar f_e periódica de período 6, basta repetir o bloco acima em toda reta, isto é,
f_e(x+6)=f_e(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
No esboço, em cada intervalo de comprimento 6 aparece um “V” de vértice na origem (de -2 a 2) que depois fica constante igual a 1 até \pm3, e isso se repete a cada 6 unidades.

Passo 4

A extensão ímpar f_o deve satisfazer f_o(-x)=-f_o(x) e coincidir com f em [0,3]. Assim, em -3<x<3 definimos
f_o(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x<2,\\\\ 1, & 2 \le x<3,\\\\ -\,f(-x), & -3<x<0, \end{cases}
o que equivale a
f_o(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x<2,\\\\ 1, & 2 \le x<3,\\\ x, & -2<x\le0,\\\\ -1, & -3<x\le-2. \end{cases}

Passo 5

Tornando f_o periódico de período 6, temos
f_o(x+6)=f_o(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
No esboço, o gráfico de -3 a 3 é antissimétrico à parte positiva, mostrando reta y=x de -2 a 2 e degrau \pm1 de \pm2 a \pm3, repetido a cada 6 unidades.

Resposta

A extensão par é
f_e(x)= \begin{cases} |x|, & |x|<2,\\\\ 1, & 2\le|x|<3, \end{cases} \quad f_e(x+6)=f_e(x),
que produz um padrão simétrico em torno da origem e repetido a cada 6.
A extensão ímpar é
f_o(x)= \begin{cases} x, & -2<x<2,\\\\ 1, & 2\le x<3,\\\\ -1, & -3<x\le -2, \end{cases} \quad f_o(x+6)=f_o(x),
com antissimetria f_o(-x)=-f_o(x) e repetição de período 6.

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