Encontre a série de Fourier da função
f(t)=1+sen^2(t)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 2π dada por f(t)=1+sen²(t). Vamos precisar usar a definição de série de Fourier num intervalo de comprimento 2π e uma identidade trigonométrica para simplificar sen²(t).

Passo 2

Lembrando da identidade trigonométrica sen²(t)= 1-cos(2t)2, substituímos em f(t):
A aplicação da identidade fica assim:
f(t)=1+sen^2(t)=1+1-cos(2t)2
Agora é só simplificar a soma de constantes e o termo em cos(2t).

Passo 3

Reescrevendo f(t) em função de constantes e cosseno:
f(t)=1+12-12cos(2t)=32-12cos(2t)
Comparando com a forma geral da série de Fourier
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nt)+bnsin(nt)r)
vemos que o único coeficiente não nulo é a0=3 e a2=-tfrac12, todos os demais an (com nneq2) e todos os bn são zero.

Passo 4

Com isso, a série de Fourier fica exatamente como a função reduzida que já encontramos. Não há termos em sin(nt) e nem cossenos de ordem diferente de 2.

Resposta

f(t)=32-12cos(2t)

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