Encontre a série de Fourier da função
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Fourier de uma função periódica de período 2π dada por f(t)=1+sen²(t). Vamos precisar usar a definição de série de Fourier num intervalo de comprimento 2π e uma identidade trigonométrica para simplificar sen²(t).
Passo 2
Lembrando da identidade trigonométrica sen²(t)=
, substituímos em f(t):
A aplicação da identidade fica assim:
Agora é só simplificar a soma de constantes e o termo em
.
Passo 3
Reescrevendo f(t) em função de constantes e cosseno:
Comparando com a forma geral da série de Fourier
vemos que o único coeficiente não nulo é
e
, todos os demais
(com
) e todos os
são zero.
Passo 4
Com isso, a série de Fourier fica exatamente como a função reduzida que já encontramos. Não há termos em
e nem cossenos de ordem diferente de 2.