(2 pontos) Verifique que
integral-infty^infty 11+x^6 d x=2 pi3

Passo 1

A questão pede para verificar que a integral imprópria
integral-infty^infty 11+x^6,dx=2pi3
O conteúdo envolvido é integração imprópria de função par e uso da função Beta/Gamma para avaliar integrais do tipo
integral0^infty x^a-11+x^b,dx

Passo 2

Observamos que a função f(x)=1/(1+x^6) é par, ou seja, f(-x)=f(x). Então podemos escrever
integral-infty^infty 11+x^6,dx = 2integral0^infty 11+x^6,dx

Passo 3

Para calcular I=integral0^infty x^a-1/(1+x^b),dx, usamos a relação com a função Beta:
I=1b,Bl(ab,1-abr) =1b,Gammal(abr),Gammal(1-abr)Gamma(1) =1b,Gammal(abr),Gammal(1-abr)

Passo 4

No nosso caso queremos integral0^infty11+x^6,dx, isto é, a=1 e b=6. Logo
integral0^infty 11+x^6,dx =16,Gammal(16r),Gammal(1-16r)
Mas sabemos que Gamma(z),Gamma(1-z)=pisin(pi z). Para z=1/6, temos sin(pi/6)=1/2. Então
Gammal(16r),Gammal(56r) =pisin(pi/6)=2pi
Assim
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{6}},dx=\frac{1}{6}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{3}.
$$

Passo 5

Como a integral sobre toda a reta é o dobro da de 0 a infty, concluímos:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{6}},dx=2\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
$$

Resposta

2pi3

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