(2 pontos) Verifique que
Passo 1
A questão pede para verificar que a integral imprópria
O conteúdo envolvido é integração imprópria de função par e uso da função Beta/Gamma para avaliar integrais do tipo
Passo 2
Observamos que a função
é par, ou seja,
. Então podemos escrever
Passo 3
Para calcular
, usamos a relação com a função Beta:
Passo 4
No nosso caso queremos
, isto é,
e
. Logo
Mas sabemos que
. Para
, temos
. Então
Assim
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{6}},dx=\frac{1}{6}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{3}.
$$
Passo 5
Como a integral sobre toda a reta é o dobro da de
a
, concluímos:
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{6}},dx=2\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.
$$