Escreva a função
f(x)=x^24
em uma série de Fourier no intervalo (-pi, pi) e use o resultado para mostrar que
a) 1+14+19+116+ldots=pi^26,
b) 1-14+19-116+ldots=pi^212
e
c) 1+19+125+149+ldots=pi^28.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de Fourier! A questão pede para escrever a função $ f(x) = \frac{x^{2}}{4} $ como uma série de Fourier no intervalo f(x) = x^24 e depois usar esse resultado para provar três somas infinitas envolvendo quadrados dos números naturais. Para isso, vamos precisar entender como funciona a expansão em série de Fourier e como calcular os coeficientes dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer função periódica pode ser escrita como uma soma de funções seno e cosseno. No nosso caso, como $ f(x) = \frac{x^{2}}{4} $ é uma função par (ou seja, $ f(-x) = f(x) $), a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par é:
f(x) = x^24

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_0 $ e $ a_n $. O coeficiente $ a_0 $ é dado por:
a0
Substituindo $ f(x) = \frac{x^{2}}{4} $:
an
Como a função $ x^{2} $ é par, podemos simplificar a integral:
a0

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $ para $ n \geq 1 $:
an
Mais uma vez, como $ x^{2} \cos(nx) $ é uma função par, podemos simplificar:
n >= 1
Para resolver essa integral, usamos integração por partes duas vezes. O resultado final é:
an = 1π integral-π^π f(x) cos(nx) , dx = 1π integral-π^π x^24 cos(nx) , dx = 14π integral-π^π x^2 cos(nx) , dx

Passo 5

Com os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função $ f(x) $:
f(x)

Passo 6

Agora, vamos usar essa série para provar as somas infinitas pedidas. Para isso, vamos avaliar a série em um ponto específico, geralmente em $ x = 0 $, onde as funções seno e cosseno simplificam a expressão.
Vamos avaliar $ f(0) $:
x = 0
Substituindo $ x = 0 $ na série de Fourier:
f(0)
Como $ \cos(0) = 1 $:
f(0) = 0^24 = 0
Rearranjando:
x = 0
Multiplicando ambos os lados por -1:
0 = pi^26 + sumn=1^infty 4n^2 (-1)^n cos(0)
Multiplicando por 2:
cos(0) = 1
Isso corresponde à parte b do enunciado. Repetindo um processo similar para as partes a e c, podemos obter as outras somas.

Resposta

Portanto, foi mostrado que:
a) 1 + 14 + 19 + 116 + ldots = pi^26,
b) 1 - 14 + 19 - 116 + ldots = pi^212,
e
c) 1 + 19 + 125 + 149 + ldots = pi^28.

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