Use a notação de somatório para escrever a série de Maclaurin para a função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a série de Maclaurin da função $ e^{x} $ usando a notação de somatório. Então, vamos trabalhar com séries de Maclaurin, que são séries de potências expandidas em torno de $ x = 0 $. Para isso, precisamos entender como derivar os termos da série e expressá-los em uma forma de somatório.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função $ f(x) $ é dada por:
Aqui, $ f^{(n)}(0) $ representa a n-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em 0, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função $ e^{x} $. Primeiro, precisamos encontrar a n-ésima derivada de $ e^{x} $:
Perceba que todas as derivadas de $ e^{x} $ são iguais a $ e^{x} $, e avaliando em 0, temos sempre 1.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Ou seja, cada termo da série é $ \frac{x^{n}}{n!} $, somando todos esses termos do $ n = 0 $ até o infinito.
Resposta
A série de Maclaurin para $ e^{x} $ é: