Encontre a série de Fourier da função
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a série de Fourier da função
Informações dadas e o que vou devolver:
- A função está dada no intervalo fundamental associada a essa função.
- Precisamos determinar os coeficientes
, e da série
- Observação útil: a função vale zero em
e vale em , então todas as integrais para os coeficientes se reduzem a integrais de a .]
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas dos coeficientes e explicar o que cada termo significa:
- A constante média:
Isso mede a média da função no período.
- Os coeficientes das cossenos:
Eles capturam a parte “par” da função (componentes em cossenos).
- Os coeficientes dos senos:
Eles capturam a parte “ímpar” da função (componentes em senos).
Como para
, todas essas integrais ficam equivalentes a integrar de
a
com a expressão
.
Como
Também vou usar identidades trigonométricas padrão para simplificar integrais de produtos:
Vou aplicar essas identidades para calcular
e
de forma direta e clara.
Passo 3
Cálculo de
.
Pelo fato de
em
e
em
,
Calcule a integral:
Logo
No termo constante da série aparece
.
Passo 4
Cálculo de
para
.
Usando que
em
,
Aplicando a identidade
, temos
Integrando termo a termo (lembrando que
quando
):
Avaliação nos extremos: usamos
e
. Fazendo as contas (mostrar passo a passo):
Observe que
. Portanto
Assim
Interpretação e casos:
- Se
é ímpar, e , logo para todos os ímpares (incluindo ). - Se
é par, , então e
Uma forma alternativa mais compacta que evita casos é escrever explicitamente a soma só sobre os termos pares.
Passo 5
Cálculo de
para
.
Usando a identidade
,
Mas
para todo inteiro
e
, então ambas as parcelas avaliam zero. Portanto
logo
Passo 6
Montagem final da série de Fourier.
Reunindo os resultados:
-
, logo termo constante . -
para todo . -
para ímpar; para par,
Portanto a série de Fourier (somente termos constantes e cossenos pares) pode ser escrita como
Uma forma equivalente, colocando um sinal mais simples no denominador, é
Essas duas expressões são a mesma série (só reescritas).
Pequena verificação prática (para te dar confiança): o primeiro termo da soma (
) dá coeficiente
. Logo os primeiros termos da série são
o que já dá uma aproximação razoável da função no intervalo.
Resposta
ou, equivalentemente,