Encontre a série de Fourier da função
f(t)=\left\{\begin{array}{l} 0,-\pi \leq t<0 \\ \operatorname{sen}(t), 0 \leq t \leq \pi \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Fourier da função f(t)\) definida em \([-\pi,\pi]\) por \[f(t)=\begin{cases} 0, & -\pi \le t < 0,\\[4pt] \sin t, & 0 \le t \le \pi. \end{cases}
Informações dadas e o que vou devolver:
  • A função está dada no intervalo fundamental [-\pi,\pi]\]. Vou construir a série de Fourier periódica de período \(2\pi associada a essa função.
  • Precisamos determinar os coeficientes \,a_0, \,a_n e \,b_n da série
f(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr).
  • Observação útil: a função vale zero em [- \pi,0) e vale \sin t em [0,\pi], então todas as integrais para os coeficientes se reduzem a integrais de 0 a \pi.]

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas dos coeficientes e explicar o que cada termo significa:
  • A constante média:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt.
Isso mede a média da função no período.
  • Os coeficientes das cossenos:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt,\qquad n\ge 1.
Eles capturam a parte “par” da função (componentes em cossenos).
  • Os coeficientes dos senos:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt,\qquad n\ge 1.
Eles capturam a parte “ímpar” da função (componentes em senos).
Como f(t)=0 para t<0, todas essas integrais ficam equivalentes a integrar de 0 a \pi com a expressão \sin t.
Também vou usar identidades trigonométricas padrão para simplificar integrais de produtos:
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr),
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
Vou aplicar essas identidades para calcular a_n e b_n de forma direta e clara.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Pelo fato de f(t)=0 em [- \pi,0) e f(t)=\sin t em [0,\pi],
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt = \bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi}.
No termo constante da série aparece \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge 1.
Usando que f(t)=0 em [- \pi,0),
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\cos(nt)\,dt.
Aplicando a identidade \sin t\cos(nt)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((1+n)t)+\sin((1-n)t)\bigr), temos
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos(nt)\,dt =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin((1+n)t)+\sin((1-n)t)\bigr)\,dt.
Integrando termo a termo (lembrando que \int \sin(k t)\,dt = -\dfrac{\cos(k t)}{k} quando k\neq 0):
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos(nt)\,dt =\tfrac{1}{2}\left[\;-\frac{\cos((1+n)t)}{1+n}-\frac{\cos((1-n)t)}{1-n}\;\right]_{0}^{\pi}.
Avaliação nos extremos: usamos \cos((1\pm n)\pi)=(-1)^{n+1} e \cos 0=1. Fazendo as contas (mostrar passo a passo):
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos(nt)\,dt =\tfrac{1}{2}\left(\frac{1-(-1)^{n+1}}{1+n}+\frac{1-(-1)^{n+1}}{1-n}\right).
Observe que 1-(-1)^{n+1}=1+(-1)^n. Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos(nt)\,dt =\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}.
Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}.
Interpretação e casos:
  • Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e 1+(-1)^n=0, logo a_n=0 para todos os n ímpares (incluindo n=1).
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^n=1 e
a_{2k}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1-(2k)^2}=\frac{2}{\pi(1-4k^2)}.
Uma forma alternativa mais compacta que evita casos é escrever explicitamente a soma só sobre os termos pares.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge 1.
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin t\sin(nt)\,dt.
Usando a identidade \sin t\sin(nt)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n-1)t)-\cos((n+1)t)\bigr),
\int_{0}^{\pi}\sin t\sin(nt)\,dt =\tfrac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-1)t)}{n-1}-\frac{\sin((n+1)t)}{n+1}\right]_{0}^{\pi}.
Mas \sin(k\pi)=0 para todo inteiro k e \sin 0=0, então ambas as parcelas avaliam zero. Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin t\sin(nt)\,dt=0,
logo
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 6

Montagem final da série de Fourier.
Reunindo os resultados:
  • a_0=\dfrac{2}{\pi}, logo termo constante \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}.
  • b_n=0 para todo n.
  • a_n=0 para n ímpar; para n=2k par,
a_{2k}=\frac{2}{\pi(1-4k^2)}.
Portanto a série de Fourier (somente termos constantes e cossenos pares) pode ser escrita como
f(t)\sim \frac{1}{\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi(1-4k^2)}\cos(2k t).
Uma forma equivalente, colocando um sinal mais simples no denominador, é
f(t)\sim \frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k t)}{4k^2-1}.
Essas duas expressões são a mesma série (só reescritas).
Pequena verificação prática (para te dar confiança): o primeiro termo da soma ( k=1) dá coeficiente a_2=\dfrac{2}{\pi(1-4)}=\dfrac{2}{\pi(-3)}=-\dfrac{2}{3\pi}. Logo os primeiros termos da série são
f(t)\approx \frac{1}{\pi}-\frac{2}{3\pi}\cos(2t)+\cdots,
o que já dá uma aproximação razoável da função no intervalo.

Resposta

f(t)\sim \frac{1}{\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi(1-4k^2)}\cos(2k t)
ou, equivalentemente,
f(t)\sim \frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k t)}{4k^2-1}.

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