Calcule os seguintes limites.
lim x -1 1-(3+2 x^3)^3x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -1 1 - (3 + 2x^3)^3x^3 + 1. Trata-se de um limite de forma indeterminada 0/0 envolvendo polinômios e potências, então vamos usar fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Primeiro verificamos a forma indeterminada substituindo x = -1: o numerador fica 1 - (3 + 2(-1)^3)^3 = 1 - (3 - 2)^3 = 1 - 1 = 0 e o denominador (-1)^3 + 1 = 0. Logo, temos 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, aplicamos a identidade de diferença de cubos. Seja a = 3 + 2x^3. Então:
1 - a^3 = (1 - a)(1 + a + a^2)
Isso nos dá:
1 - (3 + 2x^3)^3 = [1 - (3 + 2x^3)],[1 + (3 + 2x^3) + (3 + 2x^3)^2]

Passo 4

Observe que
1 - (3 + 2x^3) = -2 - 2x^3 = -2(1 + x^3)
Logo, o quociente se torna
1 - (3 + 2x^3)^3x^3 + 1 = -2(1 + x^3)l[1 + (3 + 2x^3) + (3 + 2x^3)^2r]x^3 + 1
Cancelando x^3 + 1 no numerador e denominador, sobra
-2l[1 + (3 + 2x^3) + (3 + 2x^3)^2r]

Passo 5

Basta agora avaliar em x = -1. Temos 3 + 2(-1)^3 = 1, então
1 + (3 + 2x^3) + (3 + 2x^3)^2 = 1 + 1 + 1^2 = 3
Portanto o limite é
-2 cdot 3 = -6

Resposta

-6

Exercícios relacionados