Encontre a série de Fourier da função
, de período
.
Passo 1
A gente tem a função periódica de período 2 dada por f(x)=x² em (-1,1). O conteúdo é Série de Fourier em intervalo [-L,L] com L=1, e vamos precisar das fórmulas gerais para os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.
Passo 2
Como f(x)=x² é uma função par, todos os coeficientes bₙ são zero. Resta calcular a₀ e aₙ usando
Passo 3
Para a₀ com L=1 temos
Passo 4
Agora aₙ (n≥1): como x²·cos(nπx) é par,
Passo 5
Chamando I=
, aplicamos integração por partes duas vezes. O resultado é
Passo 6
Logo
Passo 7
Com tudo isso, a série de Fourier fica