Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L.
f(x)=x^2 (-1

Passo 1

A gente tem a função periódica de período 2 dada por f(x)=x² em (-1,1). O conteúdo é Série de Fourier em intervalo [-L,L] com L=1, e vamos precisar das fórmulas gerais para os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Como f(x)=x² é uma função par, todos os coeficientes bₙ são zero. Resta calcular a₀ e aₙ usando
a₀=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosl(npi x/Lr),dx

Passo 3

Para a₀ com L=1 temos
a₀=integral-1^1x^2,dx=2integral0^1x^2,dx=2cdot13=23

Passo 4

Agora aₙ (n≥1): como x²·cos(nπx) é par,
an=integral-1^1x^2cos(npi x),dx=2integral0^1x^2cos(npi x),dx

Passo 5

Chamando I= integral0^1x^2cos(npi x),dx, aplicamos integração por partes duas vezes. O resultado é
I=2(-1)^nn^2pi^2

Passo 6

Logo
an=2I=4(-1)^nn^2pi^2

Passo 7

Com tudo isso, a série de Fourier fica
x^2=a₀2+sumn=1^inftyancos(npi x)=13+sumn=1^infty4(-1)^nn^2pi^2cos(npi x)

Resposta

x^2=13+4sumn=1^infty(-1)^nn^2pi^2cos(npi x)

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