Use o Teorema de Green para determinar integralc(x+y^2) d x+(2 x^2-y) d y, onde c é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y=x^2 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha integralc(x+y^2) dx+(2 x^2-y) dy, onde c é a fronteira da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4. Então, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, e identificar as funções P e Q na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P e Q na integral dada. Temos:
P(x, y) = x + y^2
Q(x, y) = 2x^2 - y
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2 - y) = 4x
partial Ppartial y = partialpartial y (x + y^2) = 2y
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (4x - 2y) dA

Passo 4

Vamos descrever a região D. Ela está no primeiro quadrante e é limitada por y = x^2 e y = 4. Para encontrar os limites de integração, vamos determinar onde essas curvas se intersectam:
x^2 = 4 implies x = pm 2
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos x de 0 a 2. Então, para cada x nesse intervalo, y varia de x^2 a 4.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
integralx=0^2 integraly=x^2^4 (4x - 2y) dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a y.

Passo 6

Integrando 4x - 2y em relação a y:
integraly=x^2^4 (4x - 2y) dy = 4x(y) - y^2 gr|x^2^4 = 4x(4) - 4^2 - [4x(x^2) - (x^2)^2]
Simplificando:
16x - 16 - (4x^3 - x^4)
= 16x - 16 - 4x^3 + x^4

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 (x^4 - 4x^3 + 16x - 16) dx
Vamos integrar termo a termo:
x^55 - x^4 + 8x^2 - 16x gr|0^2

Passo 8

Calculando em x=2:
325 - 16 + 32 - 32 = 325 - 16
Convertendo 16 para quintos:
325 - 805 = -485
Em x=0, todos os termos são 0. Então, a integral é -485.

Resposta

O valor da integral é -dfrac485.

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