Use o Teorema de Green para determinar , onde é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha , onde é a fronteira da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas e . Então, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, e identificar as funções e na nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar e na integral dada. Temos:
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Vamos descrever a região . Ela está no primeiro quadrante e é limitada por e . Para encontrar os limites de integração, vamos determinar onde essas curvas se intersectam:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos de a . Então, para cada nesse intervalo, varia de a .
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a :
Simplificando:
16x - 16 - (4x^3 - x^4)
= 16x - 16 - 4x^3 + x^4
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a x, de 0 a 2:
integral0^2 (x^4 - 4x^3 + 16x - 16) dx
Vamos integrar termo a termo:
x^55 - x^4 + 8x^2 - 16x gr|0^2
Passo 8
Calculando em x=2:
325 - 16 + 32 - 32 = 325 - 16
Convertendo 16 para quintos:
325 - 805 = -485
Em x=0, todos os termos são 0. Então, a integral é -485.