Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO de primeira ordem
com condição inicial
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, da transformada da derivada e da transformada de
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
obtemos
Passo 3
Reorganizando e isolando
:
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando pelo denominador comum e comparando coeficientes, obtemos o sistema
do qual saem
,
,
.
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo:
-
-
-
Somando tudo, achamos.
Resposta
y(t)=7e^{-t/2}-8\cos2t+2\sin2t