Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
y^prime+12 y=17 sen 2 t, y(0)=-1

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO de primeira ordem y'+tfrac12y=17sin2t com condição inicial y(0)=-1 usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linearidade, da transformada da derivada e da transformada de sin.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
Ly'=sY(s)-y(0),
Ly=Y(s),
L17sin2t=17cdot2s^2+4=34s^2+4,
obtemos
sY(s)-(-1)+tfrac12Y(s)=34s^2+4

Passo 3

Reorganizando e isolando Y(s):
l(s+tfrac12r)Y(s)+1=34s^2+4
Y(s)=34/(s^2+4)-1s+1/2= rac30 - s^2(s+1/2)(s^2+4)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
Y(s)=As+1/2+Bs+Cs^2+4
Multiplicando pelo denominador comum e comparando coeficientes, obtemos o sistema
A+B=-1,
tfrac B2 +C=0,
4A+tfrac C2=30,
do qual saem A=7, B=-8, C=4.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo:
  • L^-17/(s+1/2)=7e^-t/2
  • L^-1-8s/(s^2+4)=-8cos2t
  • L^-14/(s^2+4)=4cdottfrac12sin2t=2sin2t
    Somando tudo, achamos y(t)=7e^-t/2-8cos2t+2sin2t.

Resposta

y(t)=7e^{-t/2}-8\cos2t+2\sin2t

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