Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-3

Passo 1

Temos o problema de valor inicial y''+2y'+2y=0 com y(0)=1 e y'(0)=-3. O conteúdo aqui é solução de EDOs lineares de segunda ordem usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de linha: Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo de y''+2y'+2y=0. Chamando Y(s)=Ly(t), temos
(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)) + 2(sY(s)-y(0)) + 2Y(s) = 0

Passo 3

Substituindo y(0)=1 e y'(0)=-3 e reorganizando, obtemos
(s^2Y(s)-s+3) + 2(sY(s)-1) + 2Y(s) = 0
o que dá
(s^2+2s+2)Y(s) - s + 1 = 0
(s^2+2s+2)Y(s) = s-1
Y(s) = s-1s^2+2s+2

Passo 4

Para inverter a transformada, completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+2 = (s+1)^2+1

Passo 5

e escrevemos o numerador como s-1=(s+1)-2. Assim
Y(s) = s+1(s+1)^2+1 - 2(s+1)^2+1

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa: temos L^-1tfracs+1(s+1)^2+1=e^-tcos t e L^-1tfrac2(s+1)^2+1=2e^-tsin t. Portanto
y(t) = e^-tcos t - 2e^-tsin t

Resposta

y(t)=e^-t(cos t -2sin t)

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