Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L.
f(x)=l-1 se -2

Passo 1

Temos uma função periódica de período p=4, definida por f(x)=-1 para -2 e f(x)=1 para 0. O conteúdo aqui é série de Fourier de uma função de período 2L=4, ou seja, L=2. Para construir a série de Fourier, primeiro examinamos a paridade de f(x). Como f(-x)=-f(x), a função é ímpar. Logo, todos os coeficientes a0 e an (termos de cosseno) são zero, restando apenas termos senoidais.

Passo 2

Os coeficientes senoidais bn para n>=1 em uma função ímpar de período 2L são dados por:
bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Como L=2 e f(x)=1 em (0,2) e f(x)=-1 em (-2,0), mas adotamos a simetria ímpar, podemos escrever
Calculamos o coeficiente usando apenas o intervalo [0,2]:
bn=22integral0^21cdotsinl(tfracnpi x2r),dx= integral0^2sinl(tfracnpi x2r),dx
Fazendo a integral temos:
integral0^2sinl(tfracnpi x2r),dx=-2npil[cosl(tfracnpi x2r)r]0^2=-2npil((-1)^n-1r)=2npil(1-(-1)^nr)

Passo 3

Da expressão bn=tfrac2npi(1-(-1)^n), vemos que para n par bn=0 e para n=2k-1 ímpar:
b2k-1=2(2k-1)pil(1-(-1)^2k-1r)=4(2k-1)pi
Portanto, a série de Fourier contém apenas senos de frequência ímpar.
Contando tudo, a expansão final fica:
f(x)=sumk=1^infty4(2k-1)pisinl(tfrac(2k-1)pi x2r)

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=4pil(sintfracpi x2+tfrac13sintfrac3pi x2+tfrac15sintfrac5pi x2+cdotsr)=sumk=1^infty4(2k-1)pisinl(tfrac(2k-1)pi x2r)

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