Encontre a série de Fourier da função
, de período
.
Passo 1
Temos uma função periódica de período
, definida por
para
e
para
. O conteúdo aqui é série de Fourier de uma função de período
, ou seja,
. Para construir a série de Fourier, primeiro examinamos a paridade de
. Como
, a função é ímpar. Logo, todos os coeficientes
e
(termos de cosseno) são zero, restando apenas termos senoidais.
Passo 2
Os coeficientes senoidais
para
em uma função ímpar de período
são dados por:
Como
e
em
e
em
, mas adotamos a simetria ímpar, podemos escrever
Calculamos o coeficiente usando apenas o intervalo :
Calculamos o coeficiente usando apenas o intervalo
Fazendo a integral temos:
Passo 3
Da expressão
, vemos que para
par
e para
ímpar:
Portanto, a série de Fourier contém apenas senos de frequência ímpar.
Contando tudo, a expansão final fica:
Contando tudo, a expansão final fica:
Resposta
A série de Fourier é