Utilizando o teorema da convolução, resolva:
y^prime prime+y=sen t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da EDO y''+y=sin t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com forçamento e a gente vai usar transformada de Laplace e, em seguida, o teorema da convolução para voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados de y''+y=sin t usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Ly=Y(s). Temos:
(s^2Y(s)-scdot0-0)+Y(s)=1s^2+1

Passo 3

Isolar Y(s):
(s^2+1)Y(s)=1s^2+1
Y(s)=1(s^2+1)^2

Passo 4

Reconhecer que pela tabela L^-11/(s^2+1)=sin t e que o produto em s vira convolução no tempo. Logo
y(t)=integral0^tsin(t-tau),sin(tau),dtau

Passo 5

Para calcular a integral, usar a identidade
sin(t-tau),sin(tau)=tfrac12[cos(t-2tau)-cos t]
Então
y(t)=12integral0^tcos(t-2tau),dtau-12integral0^tcos t,dtau
A primeira integral dá sin t e a segunda dá tcos t. Assim
y(t)=12sin t-t2cos t

Resposta

y(t)=tfrac12sin t-tfract2cos t

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