Exercício 8: Suponha que lim xk=alpha e para todo k in N, xk>beta. Prove que alpha >= beta.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência xk que converge para alpha e que para todo k, xk>beta. O assunto aqui é limites de sequência real e vamos usar a definição varepsilon- N para mostrar que necessariamente alpha>=beta.

Passo 2

Vamos provar por contradição. Suponha que alpha. Então a diferença beta-alpha é positiva, e podemos definir
varepsilon = beta-alpha2 > 0

Passo 3

Como xktoalpha, existe NinN tal que para todo k>N vale
|xk - alpha| < varepsilon
Isso implica
xk < alpha + varepsilon = alpha + beta-alpha2 = alpha+beta2
Mas, como alpha, temos (alpha+beta)/2 < beta. Logo para k>N resulta
xk>beta
o que contradiz a hipótese .

Passo 4

Essa contradição mostra que a suposição alpha é impossível. Portanto deve ocorrer
alpha >= beta

Resposta

alpha>=beta

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