Exercício 8: Suponha que
e para todo
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência
que converge para
e que para todo
,
. O assunto aqui é limites de sequência real e vamos usar a definição
-
para mostrar que necessariamente
.
Passo 2
Vamos provar por contradição. Suponha que
. Então a diferença
é positiva, e podemos definir
Passo 3
Como
, existe
tal que para todo
vale
Isso implica
Mas, como
, temos
. Logo para
resulta
o que contradiz a hipótese .
o que contradiz a hipótese
Passo 4
Essa contradição mostra que a suposição
é impossível. Portanto deve ocorrer