Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=\operatorname{sen} \pi x (0<x<1), p=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período p=1 para a função
f(x)=\operatorname{sen}(\pi x),\quad 0<x<1,
estendida de forma periódica com período 1.
O conteúdo é o desenvolvimento em séries de Fourier em um intervalo de comprimento L=\tfrac p2=\tfrac12, mas como o enunciado usa 0<x<1, faremos as integrais de 0 a 1. Vamos precisar calcular o termo médio a_0, os coeficientes a_n e b_n, e depois escrever
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(2\pi n x)+b_n\sin(2\pi n x)\bigr).

Passo 2

Cálculo de a_0.
a_0 = 2\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi x)\,dx.
Usando \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = -\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi x), temos
a_0 = 2\Bigl[-\tfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(-\tfrac{1}{\pi}\cos\pi +\tfrac{1}{\pi}\cos0\Bigr) =2\Bigl(-\tfrac{1}{\pi}(-1)+\tfrac{1}{\pi}(1)\Bigr) =\frac{4}{\pi}.

Passo 3

Cálculo de a_n para n\ge1.
a_n = 2\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi x)\cos(2\pi n x)\,dx.
Usamos a identidade
\operatorname{sen} A\cos B =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\bigr].
Então
a_n =2\cdot\tfrac12\int_{0}^{1}\bigl[\operatorname{sen}\bigl((\pi+2\pi n)x\bigr) +\operatorname{sen}\bigl((\pi-2\pi n)x\bigr)\bigr]dx =\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(k_1x)\,dx+\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(k_2x)\,dx,
com k_1=\pi+2\pi n e k_2=\pi-2\pi n. Cada integral dá
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(kx)\,dx =\frac{1-\cos k}{k}.
Como \cos(\pi\pm2\pi n)=\cos\pi\cos2\pi n= -1, temos 1-\cos(\pi\pm2\pi n)=2. Logo
a_n =\frac{2}{\pi+2\pi n}+\frac{2}{\pi-2\pi n} =2\cdot\frac{(\pi-2\pi n)+(\pi+2\pi n)}{\pi^2-4\pi^2n^2} = \frac{4\pi}{\pi^2(1-4n^2)} = \frac{4}{\pi(1-4n^2)}.

Passo 4

Cálculo de b_n.
b_n = 2\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(\pi x)\sin(2\pi n x)\,dx.
Usando \operatorname{sen} A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)], obtemos soma de cossenos cujas integrais são proporcionais a \operatorname{sen}\bigl((\pi\pm2\pi n)x\bigr) avaliadas em 0 e 1. Mas \operatorname{sen}(\pi\pm2\pi n)=0 e \operatorname{sen}(0)=0, logo
b_n=0\quad\forall\,n\ge1.

Passo 5

Montagem da série de Fourier.
f(x) \sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(2\pi n x) =\frac{2}{\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}\;\cos(2\pi n x).

Passo 6

Três primeiras somas parciais e esboço.
Soma parcial de ordem N:
S_N(x) =\frac{2}{\pi} +\sum_{n=1}^{N}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n x).
Em particular:
S_1(x) =\frac{2}{\pi} +\frac{4}{\pi(1-4)}\,\cos(2\pi x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x),
S_2(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x) -\frac{4}{15\pi}\cos(4\pi x),
S_3(x) =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x) -\frac{4}{15\pi}\cos(4\pi x) -\frac{4}{35\pi}\cos(6\pi x).
Esboço qualitativo: cada S_N(x) aproxima melhor a forma de \operatorname{sen}(\pi x) no intervalo [0,1], exibindo oscilações de Gibbs perto das descontinuidades periódicas, e converge rapidamente ao formato de onda simples de \operatorname{sen}(\pi x).

Resposta

\boxed{f(x)\sim \frac{2}{\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\pi(1-4n^2)}\cos(2\pi n x),\quad b_n=0, }
com as três primeiras somas parciais dadas em #Passo 6.

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