Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
para a função
estendida de forma periódica com período
.
O conteúdo é o desenvolvimento em séries de Fourier em um intervalo de comprimento , mas como o enunciado usa
, faremos as integrais de
a
. Vamos precisar calcular o termo médio
, os coeficientes
e
, e depois escrever
O conteúdo é o desenvolvimento em séries de Fourier em um intervalo de comprimento
Passo 2
Cálculo de
.
Usando
, temos
Passo 3
Cálculo de
para
.
Usamos a identidade
Então
com
e
. Cada integral dá
Como
, temos
. Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Usando
, obtemos soma de cossenos cujas integrais são proporcionais a
avaliadas em
e
. Mas
e
, logo
Passo 5
Montagem da série de Fourier.
Passo 6
Três primeiras somas parciais e esboço.
Soma parcial de ordem :
Soma parcial de ordem
Em particular:
Esboço qualitativo: cada
aproxima melhor a forma de
no intervalo
, exibindo oscilações de Gibbs perto das descontinuidades periódicas, e converge rapidamente ao formato de onda simples de
.
Resposta
com as três primeiras somas parciais dadas em #Passo 6.