Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=x^{2} (-1<x<1), p=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função f de período p=2L com L=1, dada por
f(x)=x^2,\quad -1<x<1,
estendida periodicamente com período 2. Vamos usar a forma de série em cossenos (pois f é par) e depois apresentar as três primeiras somas parciais S_1(x), S_3(x) e S_5(x).

Passo 2

Para uma função par de período 2L a série de Fourier se escreve
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),
onde
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,\mathrm{d}x, \quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Aqui L=1, então
a_0=\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Como x^2\cos(n\pi x) é par,
a_n=\int_{-1}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,\mathrm{d}x =2\int_{0}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,\mathrm{d}x.
Usamos integração por partes duas vezes em \displaystyle \int x^2\cos(n\pi x)\,\mathrm{d}x. O resultado padrão é
\int_{0}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,\mathrm{d}x =\frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}.
Logo
a_n =2\cdot\frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2} =\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Passo 4

Substituindo em f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi x) obtemos
f(x)=\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}\,\cos(n\pi x).

Passo 5

As três primeiras somas parciais são
S_1(x) =\frac{1}{3} +\frac{4(-1)^1}{1^2\pi^2}\cos(\pi x) =\frac{1}{3}-\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x),
S_3(x) =\frac{1}{3} -\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) +\frac{4}{4\pi^2}\cos(2\pi x) -\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x),
S_5(x) =\frac{1}{3} -\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) +\frac{4}{4\pi^2}\cos(2\pi x) -\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x) +\frac{4}{16\pi^2}\cos(4\pi x) -\frac{4}{25\pi^2}\cos(5\pi x).
Esboço qualitativo das somas parciais ao longo de [-1,1]:
- S_1(x) é um único cosseno invertido aproximando grosseiramente a parábola.
- S_3(x) já capta mais da curvatura central, com pequenas ondulações extras.
- S_5(x) aproxima ainda melhor x^2, exibindo várias ondulações de menor amplitude que refinam o formato de parábola.

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x), }
com as somas parciais S_1(x), S_3(x) e S_5(x) dadas acima.

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