Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de uma função
de período
com
, dada por
estendida periodicamente com período
. Vamos usar a forma de série em cossenos (pois
é par) e depois apresentar as três primeiras somas parciais
,
e
.
Passo 2
Para uma função par de período
a série de Fourier se escreve
onde
Aqui
, então
Passo 3
Como
é par,
Usamos integração por partes duas vezes em
. O resultado padrão é
Logo
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Passo 5
As três primeiras somas parciais são
Esboço qualitativo das somas parciais ao longo de
:
- é um único cosseno invertido aproximando grosseiramente a parábola.
- já capta mais da curvatura central, com pequenas ondulações extras.
- aproxima ainda melhor
, exibindo várias ondulações de menor amplitude que refinam o formato de parábola.
-
-
-
Resposta
com as somas parciais
,
e
dadas acima.