Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=\cos \pi x \left(-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}\right), p=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x), periodicidade p=1, definida por
f(x)=\cos(\pi x),\quad -\tfrac12<x<\tfrac12,
e a repetimos com período 1.
Conteúdo: séries de Fourier em [-L,L] com L=\tfrac12. Como f é par, teremos apenas termos em cosseno.

Passo 2

Sistema de referência: L=\tfrac12, logo as funções base são \cos\bigl(n\pi x/L\bigr)=\cos(2n\pi x) e \sin(2n\pi x). A fórmula dos coeficientes é
a_0=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(2n\pi x\bigr)\,dx, \quad b_n=0\\ (\text{pois }f\text{ é par}).é

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0 =2\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi x)\,dx =2\left[\frac1\pi\sin(\pi x)\right]_{-1/2}^{1/2} =\frac{2}{\pi}\bigl(\sin\tfrac\pi2-\sin(-\tfrac\pi2)\bigr) =\frac{4}{\pi}.
Então o termo médio é a_0/2=2/\pi.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n =2\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi x)\,\cos(2n\pi x)\,dx =2\cdot\frac12\int_{-1/2}^{1/2}\bigl[\cos(\pi(1-2n)x)+\cos(\pi(1+2n)x)\bigr]dx.
Cada integral produz
\int_{-1/2}^{1/2}\cos\bigl(\pi kx\bigr)dx =\frac{2}{\pi k}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi k}{2}\bigr),
com k=1\pm2n. Como \sin\bigl(\tfrac\pi2\pm n\pi\bigr)=(-1)^n,
obtém-se
a_n =\frac{2}{\pi}\,(-1)^n\Bigl(\tfrac1{1-2n}+\tfrac1{1+2n}\Bigr) =\frac{4(-1)^n}{\pi\,(1-4n^2)}.

Passo 5

Assim a série de Fourier fica
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\bigl(2n\pi x\bigr) =\frac{2}{\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{\pi\,(1-4n^2)}\;\cos\bigl(2n\pi x\bigr).

Passo 6

As três primeiras somas parciais são
S_1(x) =\frac{2}{\pi} +\frac{4(-1)^1}{\pi(1-4)}\cos(2\pi x) =\frac{2}{\pi}+\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x),
S_2(x) =S_1(x) +\frac{4(-1)^2}{\pi(1-16)}\cos(4\pi x) =\frac{2}{\pi}+\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x)-\frac{4}{15\pi}\cos(4\pi x),
S_3(x) =S_2(x) +\frac{4(-1)^3}{\pi(1-36)}\cos(6\pi x) =\frac{2}{\pi}+\frac{4}{3\pi}\cos(2\pi x)-\frac{4}{15\pi}\cos(4\pi x)+\frac{4}{35\pi}\cos(6\pi x).

Passo 7

Esboço das somas parciais em [-1/2,1/2]:
  • S_1(x) é uma cossenoidal de frequência 1 ciclo por intervalo, amplitude~ \tfrac{4}{3\pi}\approx0{,}424 deslocada por 2/\pi.
  • S_2(x) adiciona ondulação de frequência 2, melhorando o ajuste próximo a x=\pm\tfrac12.
  • S_3(x) inclui também frequência 3, aproximando-se ainda mais de \cos(\pi x).
    Em todos os casos S_k(\pm\tfrac12)\approx0 e S_k(0)\approx1, e com k maior a curva se aproxima da reta \cos(\pi x).

Resposta

f(x) =\frac{2}{\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{\pi\,(1-4n^2)}\cos(2n\pi x),
com as somas parciais
\begin{aligned} S_1(x)&=\tfrac{2}{\pi}+\tfrac{4}{3\pi}\cos(2\pi x),\\\ S_2(x)&=\tfrac{2}{\pi}+\tfrac{4}{3\pi}\cos(2\pi x)-\tfrac{4}{15\pi}\cos(4\pi x),\\\ S_3(x)&=\tfrac{2}{\pi}+\tfrac{4}{3\pi}\cos(2\pi x)-\tfrac{4}{15\pi}\cos(4\pi x)+\tfrac{4}{35\pi}\cos(6\pi x). \end{aligned}
Esboços qualitativos apresentados no passo 7.

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