Encontre a série de Fourier da função
, de período
, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período
da função
bem como o esboço das três primeiras somas parciais.
Conteúdo: séries de Fourier em função ímpar. Vamos usar a simetria ímpar para ver que só há termos senoidais e depois calcular
Conteúdo: séries de Fourier em função ímpar. Vamos usar a simetria ímpar para ver que só há termos senoidais e depois calcular
com
.
Passo 2
Como
é função ímpar
, temos
e a série fica
Passo 3
Usando
,
Defina
e calcule por partes sucessivas.
Passo 4
Integração por partes para
:
- Seja
, ⇒ , .
onde
- Para
, faça de novo partes: , ⇒ , .
com
- Para
, partes: , ⇒ , .
Logo
Passo 5
Portanto
Alternativamente
Passo 6
A série de Fourier final é
Passo 7
As três primeiras somas parciais são
Esboço qualitativo:
-
é um seno simples, odd, cru. -
adiciona a segunda harmônica, a curva já começa a “alinhar” com o . -
aproxima ainda mais a forma cúbica ímpar, tendo inflexões arredondadas perto de .
Resposta
As três primeiras somas parciais são
com esboço conforme descrito acima.