Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=\pi x^{3} / 2 (-1<x<1), p=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2L=2 da função
f(x)=\frac{\pi}{2}\,x^{3},\quad -1<x<1,
bem como o esboço das três primeiras somas parciais.
Conteúdo: séries de Fourier em função ímpar. Vamos usar a simetria ímpar para ver que só há termos senoidais e depois calcular
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx,
com L=1.

Passo 2

Como f(x)=\tfrac{\pi}{2}x^{3} é função ímpar f(-x)=-f(x), temos
a_{0}=0, \quad a_{n}=0\quad(\forall n),
e a série fica
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin(n\pi x).

Passo 3

Usando L=1,
b_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1}\frac{\pi}{2}x^{3}\sin(n\pi x)\,dx =\pi\int_{0}^{1}x^{3}\sin(n\pi x)\,dx.
Defina
I=\int_{0}^{1}x^{3}\sin(n\pi x)\,dx
e calcule por partes sucessivas.

Passo 4

Integração por partes para I:
  1. Seja u=x^{3}, dv=\sin(n\pi x)\,dx du=3x^{2}dx, v=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}.
I =\Bigl[-\frac{x^{3}\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{3}{n\pi}\int_{0}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{3}{n\pi}J,
onde
J=\int_{0}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx.
  1. Para J, faça de novo partes: u=x^{2}, dv=\cos(n\pi x)\,dx du=2x\,dx, v=\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}.
J =\Bigl[\frac{x^{2}\sin(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} -\frac{2}{n\pi}\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{2}{n\pi}K,
com
K=\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
  1. Para K, partes: u=x, dv=\sin(n\pi x)\,dx du=dx, v=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}.
K =\Bigl[-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =-\frac{(-1)^{n}}{n\pi} +0 =-\frac{(-1)^{n}}{n\pi}.
Logo
J =-\frac{2}{n\pi}\,K =\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}},
I =-\frac{(-1)^{n}}{n\pi} +\frac{3}{n\pi}\cdot\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}} =(-1)^{n}\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n^{3}\pi^{3}}\Bigr).

Passo 5

Portanto
b_{n} =\pi\,I =\pi\,(-1)^{n}\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n^{3}\pi^{3}}\Bigr) =(-1)^{n}\Bigl(-\frac{1}{n}+\frac{6}{n^{3}\pi^{2}}\Bigr).
Alternativamente
b_{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{6(-1)^{n}}{n^{3}\pi^{2}}.

Passo 6

A série de Fourier final é
\boxed{ f(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[\,(-1)^{n}\Bigl(-\frac{1}{n}+\frac{6}{n^{3}\pi^{2}}\Bigr)\Bigr]\, \sin(n\pi x). }

Passo 7

As três primeiras somas parciais são
S_{1}(x) =b_{1}\sin(\pi x), \quad b_{1}=(-1)^{1}\Bigl(-1+\frac{6}{\pi^{2}}\Bigr) =1-\frac{6}{\pi^{2}},
S_{2}(x) =S_{1}(x)+b_{2}\sin(2\pi x), \quad b_{2}=-\tfrac12+\frac{3}{4\pi^{2}},
S_{3}(x) =S_{2}(x)+b_{3}\sin(3\pi x), \quad b_{3}=1\big/3-\frac{2}{9\pi^{2}}.
Esboço qualitativo:
  • S_{1} é um seno simples, odd, cru.
  • S_{2} adiciona a segunda harmônica, a curva já começa a “alinhar” com o x^{3}.
  • S_{3} aproxima ainda mais a forma cúbica ímpar, tendo inflexões arredondadas perto de \pm1.

Resposta

f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\!\Bigl(-\tfrac{1}{n}+\tfrac{6}{n^{3}\pi^{2}}\Bigr)\sin(n\pi x).
As três primeiras somas parciais são
S_{1}(x)=\Bigl(1-\frac{6}{\pi^{2}}\Bigr)\sin(\pi x), \quad S_{2}(x)=S_{1}(x)+\Bigl(-\tfrac12+\tfrac{3}{4\pi^{2}}\Bigr)\sin(2\pi x),
S_{3}(x)=S_{2}(x)+\Bigl(\tfrac13-\tfrac{2}{9\pi^{2}}\Bigr)\sin(3\pi x),
com esboço conforme descrito acima.

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