Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x \text { se }-1<x<0 \\\\ 1-x \text { se } 0<x<1,\end{array} p=2\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2L=2\) (logo \(L=1\)) para \[f(x)= \begin{cases} 1+x,&-1<x<0,\\\\ 1-x,&0<x<1, \end{cases}
e o gráfico (esboço) das três primeiras somas parciais.
Conteúdo: fórmula geral de série de Fourier em [-L,L]\], determinamos \(a_0, a_n, b_n e depois as somas parciais.

Passo 2

Como f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x) para 0<x<1, a função é par, logo todos os coeficientes b_n são zero. Resta calcular
a_0=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1L\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_0 com L=1:
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}(1+x)\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx =\frac12+\frac12=1,
logo
a_0=\frac1{1}\cdot1=1,
e a contribuição constante da série é a_0/2=1/2.

Passo 4

Cálculo de a_n: como f é par,
a_n =2\int_{0}^{1}(1-x)\cos(n\pi x)\,dx.
Dividimos em duas integrais:
I_1=\int_0^1\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0,
I_2=\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx \quad\text{(por partes \(u=x,\;dv=\cos(n\pi x)dx\))},
I_2 =\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}.
Então
a_n =2\bigl(I_1 - I_2\bigr) =-2\;\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Note que 1-(-1)^n=0 para n par e =2 para n ímpar. Logo
a_n= \begin{cases} 0,&n\text{ par},\\\\ -\dfrac{4}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar}. \end{cases}í

Passo 6

Escrevendo a série de Fourier,
f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x) =\frac12 -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\, \cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

Passo 7

As três primeiras somas parciais são, tomando apenas os termos até n=1,3,5:
S_1(x) =\frac12-\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x),
S_3(x) =\frac12-\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) -\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x),
S_5(x) =\frac12-\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) -\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x) -\frac{4}{25\pi^2}\cos(5\pi x).

Passo 8

Esboço qualitativo em [-1,1]:
  • S_1(x) é um único cosseno deslocado, fica “suave” e longe do triângulo original.
  • S_3(x) já insere uma oscilação a mais, começa a formar pontas nos extremos e no centro.
  • S_5(x) aproxima-se ainda mais do formato triangular de f, com pequenas ondulações (fenômeno de Gibbs) perto de \pm1.

Resposta

A série de Fourier é
f(x) =\frac12 -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\, \cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr).
As somas parciais S_1,S_3,S_5 estão dadas acima e seus esboços aproximam progressivamente o “triângulo” definido por f(x).

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