Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L, e faça um gráfico ou esboço das três primeiras somas parciais. (Mostre os detalhes do que fizer.)
f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x \text { se }-1<x<0 \\\\ 1-x \text { se } 0<x<1,\end{array} p=2\right.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período p=2\) (logo \(L=1\)) dada em \((-1,1)\) por \[f(x)=\begin{cases} 1+x, & -1<x<0,\\\\ 1-x, & 0<x<1, \end{cases}
e pede a série de Fourier e os esboços das três primeiras somas parciais. O conteúdo principal é desenvolver a série de Fourier em [-1,1]\] e explorar que \(f é função par (portanto só há termos de cosseno).

Passo 2

Em [-1,1] a forma padrão da série de Fourier é
f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),
com
a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx, \quad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Como f é par, todos os b_n se anulam e podemos calcular apenas a_0 e a_n.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =2\int_{0}^{1}(1-x)\,dx =2\Bigl[x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =2\bigl(1-\tfrac12\bigr) =1.
Portanto o termo constante é a_0/2=1/2.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1. Como f é par,
a_n =2\int_{0}^{1}(1-x)\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes com u=1-x, dv=\cos(n\pi x)\,dx, obtém-se
\int_{0}^{1}(1-x)\cos(n\pi x)\,dx =\frac{1}{n^2\pi^2}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Logo
a_n =2\cdot\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2} =\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Observe que se n for par então (-1)^n=1 e a_n=0; se n for ímpar então (-1)^n=-1 e
a_n =\frac{2(1-(-1))}{n^2\pi^2} =\frac{4}{n^2\pi^2}.
Portanto a série de Fourier fica
f(x) =\frac12 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)^2\pi^2}\, \cos\bigl((2k-1)\pi x\bigr).

Passo 6

As três primeiras somas parciais são:
S_1(x) =\frac12 +\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x),
S_2(x) =\frac12 +\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) +\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x),
S_3(x) =\frac12 +\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) +\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x) +\frac{4}{25\pi^2}\cos(5\pi x).

Passo 7

Esboço das somas parciais:
  • S_1(x) é um único cosseno ajustado, aproxima grosseiramente a forma triangular de f.
  • S_2(x) já começa a “achatamento” nos picos, aproximando melhor as junções em x=0 e x=\pm1.
  • S_3(x) traz ainda mais detalhes e se aproxima bem da forma triangular, com pequenas oscilações (fenômeno de Gibbs) próximo a x=\pm1.

Resposta

A série de Fourier de f é
f(x) =\frac12 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(2k-1)^2\pi^2}\, \cos\bigl((2k-1)\pi x\bigr),
e as três primeiras somas parciais são
S_1(x) =\frac12+\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x), \quad S_2(x) =\frac12+\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x)+\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x),
S_3(x) =\frac12+\frac{4}{\pi^2}\cos(\pi x) +\frac{4}{9\pi^2}\cos(3\pi x) +\frac{4}{25\pi^2}\cos(5\pi x).

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