Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
série em cosenos, periodo 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício de série de Fourier! A gente tem uma função
definida num período de 2 unidades, onde:
Queremos encontrar a série de Fourier dessa função usando apenas cossenos e depois desenhar o gráfico para três períodos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e como montar a série usando esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para funções periódicas parciais (simétricas em relação ao eixo y), a série de Fourier pode ser escrita usando apenas cossenos. A fórmula geral para a série de Fourier de
em termos de cossenos é:
Aqui,
é a metade do período da função. No nosso caso, o período é 2, então
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a componente constante da série. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Como
de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
:
Como
de 0 a 1:
Passo 5
Vamos resolver a integral para
:
Sabemos que
e
, então:
Mas isso não está correto! Vamos reavaliar.
Passo 6
Peço desculpas pelo erro. Vamos reconsiderar a função
. Na verdade,
é 1 de 0 a 1 e 0 de 1 a 2, mas como estamos considerando apenas de 0 a 1 para a série de cossenos, precisamos ajustar a extensão da função.
Na verdade, a função é definida no intervalo
com
, então
é 1 nesse intervalo. Portanto, os coeficientes
continuam sendo:
Parece que todos os
são zero, o que não faz sentido. Vamos revisar novamente.
Passo 7
Vamos ajustar a interpretação. A função
definida no período 2 como 1 de 0 a 1 e 0 de 1 a 2 pode ser estendida de forma par para todo o eixo, resultando em uma função par com período 2.
Assim, quando calculamos
:
De fato, todos os
são zero. Isso indica que a série de Fourier dessa função constante é simplesmente seu valor médio, que é
.
Resposta
A série de Fourier em cossenos para a função dada
com período 2 é:
Isso significa que, para essa função específica, a série de Fourier converge para o valor constante 1 em todos os pontos do intervalo considerado.